北海道大学 2001年度 前期日程文系数学 第1問

(1)

点 $P(p,q)$ は曲線上にあるので $q=a(p-b{)}^2+c$ である。また導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=2a(x-b)$ だから、$P$ における接線の傾きは $2a(p-b)$ である。

まず $p\mathrm{\ne }b$ の場合を考える。このとき接線は $y-q=2a(p-b)(x-p)$ である。$x$ 軸との交点では $y=0$ なので $-q=2a(p-b)(x-p)$ となる。したがって、その交点の $x$ 座標は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(p)}& {\displaystyle =p-{\displaystyle \frac{q}{2a(p-b)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p-{\displaystyle \frac{a(p-b{)}^2+c}{2a(p-b)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{p+b}{2}}-{\displaystyle \frac{c}{2a(p-b)}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $a\mathrm{\ne }0$ である。右辺が $p$ の1次関数になるためには、逆数項 ${\displaystyle \frac{c}{p-b}}$ が消えなければならない。よって必要条件として $c=0$ を得る。

逆に $c=0$ なら $$f(p)={\displaystyle \frac{p+b}{2}}$$ となり、これは $p$ の1次関数である。したがって求める必要十分条件は $c=0$ である。なお $p=b$ では接線が水平になるが、$c=0$ のときは上の1次式で自然に値を補って考えればよい。

(2)

(1) の条件 $c=0$ のもとで $$f(x)={\displaystyle \frac{x+b}{2}}$$ である。したがって $$x_{n+1}={\displaystyle \frac{x_n+b}{2}}$$ であり、両辺から $b$ を引くと $$x_{n+1}-b={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n-b)$$ となる。

これは等比数列で、初項は $x_1-b=p-b$ である。よって $$x_n-b={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}(p-b)$$ である。したがって $n\geqq 2$ で $$x_n=b+{\displaystyle \frac{p-b}{2^{n-1}}}$$ である。

接線の切片を求めた後、1次関数と仮定した式を
$p-b$ 倍して多項式の恒等式として比較する。反復式は、求める一般項を
直接予想して数学的帰納法で確かめる。

(1)

$p\mathrm{\ne }b$ のとき、点 $P$ での接線は$$y-\{a(p-b{)}^2+c\}=2a(p-b)(x-p)$$である。$y=0$ として$$f(p)={\displaystyle \frac{p+b}{2}}-{\displaystyle \frac{c}{2a(p-b)}}$$を得る。

$f(p)=\alpha p+\beta$ と表せると仮定し、両辺に $2a(p-b)$ を掛けると$$2a(p-b)(\alpha p+\beta )=a(p-b)(p+b)-c$$となる。この恒等式で $p=b$ を代入すれば $c=0$ が必要である。
逆に $c=0$ なら$$f(p)={\displaystyle \frac{p+b}{2}}$$となるので確かに1次関数である。したがって必要十分条件は$$c=0$$である。

(2)

$c=0$ のもとで$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{x_n+b}{2}}$$である。ここから$$x_n=b+{\displaystyle \frac{p-b}{2^{n-1}}}$$と予想する。$n=1$ では右辺は $p=x_1$ である。また $n=k$ で成立するとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{k+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(b+{\displaystyle \frac{p-b}{2^{k-1}}}+b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b+{\displaystyle \frac{p-b}{2^k}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって数学的帰納法により、$n\geqq 2$ で$$x_n=b+{\displaystyle \frac{p-b}{2^{n-1}}}$$となる。