北海道大学 2005年度 後期日程理系（後期）数学 第2問

(1) $x>0$ を固定する。$0\leqq t<x$ では、$f(x)$ は $[0,x]$ の右端の値であり、$f$ は単調に減少するから $f(t)>f(x)$ である。したがって $$f(t)-f(x)>0(0\leqq t<x)$$ である。連続性により、この正の差を積分して$${\int }_0^x\{f(t)-f(x)\}dt>0$$を得る。すなわち$${\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}f(x)dt>0$$である。$f(x)$ は $t$ に関する定数なので$${\int }_0^{x}f(x)dt=xf(x)$$であり、$${\int }_0^{x}f(t)dt>xf(x)$$となる。$x>0$ で割って$$f(x)<{\displaystyle \frac{1}{x}}{\int }_0^{x}f(t)dt$$が示された。

(2) $$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$であるから、微分積分の基本定理より $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ である。$x>0$ で商を微分すると$${\left({\displaystyle \frac{F(x)}{x}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x{F}^{\mathrm{\prime }}(x)-F(x)}{x^2}}={\displaystyle \frac{xf(x)-F(x)}{x^2}}$$である。

(1) の結果は $F(x)>xf(x)$ と書ける。したがって $xf(x)-F(x)<0$ であり、$x^2>0$ だから $${\left({\displaystyle \frac{F(x)}{x}}\right)}^{\mathrm{\prime }}<0$$ である。よって $${\displaystyle \frac{F(x)}{x}}\text{ は }x>0\text{ で単調に減少する}$$ ことが示された。

仮定の読み方

原文の不等号は狭義であるため、「単調に減少」は $s<t$ なら $f(s)>f(t)$ という狭義減少として用いる。定数関数まで許す広義単調減少では (1) の等号が成立し、原文の結論と両立しない。

微分を使わず、$0<x<y$ に対する2つの区間の積分平均を比較する。狭義減少性により前半の平均が後半の平均より大きいことから、全体平均の減少を示す。

(1)

$x>0$ とする。狭義減少性より $0\leqq t<x$ で $f(t)>f(x)$ だから$${\int }_0^{x}f(t)dt>xf(x)\mathrm{.}$$$x>0$ で割れば、求める不等式を得る。

(2)

$0<x<y$ とする。狭義減少性と連続性から$${\int }_0^{x}f(t)dt>xf(x)$$であり、また $x<t\leqq y$ では $f(t)<f(x)$ だから$${\int }_x^{y}f(t)dt<(y-x)f(x)\mathrm{.}$$よって$$(y-x){\int }_0^{x}f(t)dt>x{\int }_x^{y}f(t)dt\mathrm{.}$$両辺を整理すると$$yF(x)>xF(y)\mathrm{.}$$$xy>0$ で割って$${\displaystyle \frac{F(x)}{x}}>{\displaystyle \frac{F(y)}{y}}$$を得る。したがって $F(x)\mathrm{/}x$ は $x>0$ で狭義単調減少する。