北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

放物線を平方完成すると $$y=x^2-ax={(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ である。指定区間 $a\mathrm{/}6\leqq x\leqq 5a\mathrm{/}6$ は，軸 $x=a\mathrm{/}2$ から左右に $a\mathrm{/}3$ だけ離れた範囲である。

長方形の対辺の両端を $$x={\displaystyle \frac{a}{2}}-u,x={\displaystyle \frac{a}{2}}+u$$ に対応する放物線上の二点とおく。このとき $$0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{a}{3}}$$ である。両端の $y$ 座標は $$y=u^2-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ なので，長方形の高さは ${\displaystyle \frac{a^2}{4}}-u^2$ であり，幅は $2u$ である。

(1)

周の長さを $P(u)$ とすると $$P(u)=2(2u+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-u^2)=4u+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-2u^2\mathrm{.}$$ したがって $P^{\mathrm{\prime }}(u)=4-4u$ であり，二次式の頂点は $u=1$ である。 $0<a<3$ のときは $a\mathrm{/}3<1$ なので，$P(u)$ は許された範囲で増加し，最大は $u=a\mathrm{/}3$ で生じる。よって$$P_{\max }=4\cdot {\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-2\cdot {\displaystyle \frac{a^2}{9}}={\displaystyle \frac{4a}{3}}+{\displaystyle \frac{5a^2}{18}}\mathrm{.}$$ $a\geqq 3$ のときは $u=1$ を取ることができ，$$P_{\max }=4+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-2={\displaystyle \frac{a^2}{2}}+2.$$ したがって$$P_{\max }=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{4a}{3}}+{\displaystyle \frac{5a^2}{18}}& (0<a\leqq 3),\\ {\displaystyle \frac{a^2}{2}}+2& (a\geqq 3)\end{array}$$である。$a=3$ では二つの式は同じ値になる。

(2)

面積を $S(u)$ とすると $$S(u)=2u({\displaystyle \frac{a^2}{4}}-u^2)={\displaystyle \frac{a^2}{2}}u-2u^3\mathrm{.}$$ 微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{a^2}{2}}-6u^2\mathrm{.}$$ よって $S^{\mathrm{\prime }}(u)=0$ となる正の値は $$u={\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{3}}}$$ である。この値は $${\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{3}}}<{\displaystyle \frac{a}{3}}$$ を満たすので，許された範囲内にある。また $S^{\mathrm{\prime }}(u)$ はこの前で正，この後で負であるから，ここで最大となる。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{\max }}& {\displaystyle =2\cdot {\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{3}}}({\displaystyle \frac{a^2}{4}}-{\displaystyle \frac{a^2}{12}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}\cdot {\displaystyle \frac{a^2}{6}}={\displaystyle \frac{a^3}{6\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^3}{18}}\mathrm{.}}\end{array}$$

長方形の幅そのものを $w$ と置く。高さを $w$ の式で表し、周長は平方完成、面積は微分で最大化する。幅の範囲を先に確定して、周長では頂点が範囲内にあるかを場合分けする。

長方形の幅を $w$ とする。放物線の軸に関する対称性から、上側の二頂点の $x$ 座標は$${\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{w}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{w}{2}}$$である。指定された定義域より$$0\leqq w\leqq {\displaystyle \frac{2a}{3}}\mathrm{.}$$また、この二点の $y$ 座標は $w^2\mathrm{/}4-a^2\mathrm{/}4$ だから、長方形の高さは$$h={\displaystyle \frac{a^2-w^2}{4}}$$である。

(1)

周の長さは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(w)}& {\displaystyle =2(w+h)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2w+{\displaystyle \frac{a^2-w^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{2}}+2-{\displaystyle \frac{(w-2{)}^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、$2a\mathrm{/}3\leqq 2$、すなわち $0<a\leqq 3$ のときは右端 $w=2a\mathrm{/}3$ で最大となり、$$P_{\max }={\displaystyle \frac{4a}{3}}+{\displaystyle \frac{5a^2}{18}}\mathrm{.}$$$a\geqq 3$ のときは $w=2$ を取ることができ、$$P_{\max }={\displaystyle \frac{a^2}{2}}+2.$$よって$$P_{\max }=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{4a}{3}}+{\displaystyle \frac{5a^2}{18}}& (0<a\leqq 3),\\ {\displaystyle \frac{a^2}{2}}+2& (a\geqq 3)\end{array}\mathrm{.}$$(2)

面積は$$S(w)=wh={\displaystyle \frac{w(a^2-w^2)}{4}}\mathrm{.}$$したがって$$S^{\mathrm{\prime }}(w)={\displaystyle \frac{a^2-3w^2}{4}}\mathrm{.}$$$S^{\mathrm{\prime }}(w)=0$ となる正の値は $w=a\mathrm{/}\sqrt{3}$ であり、$${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}<{\displaystyle \frac{2a}{3}}$$だから許された範囲内にある。増減よりここで最大となり、$$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}(a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{3}})={\displaystyle \frac{a^3}{6\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$