北海道大学 2004年度 前期日程文系数学 第2問

(1) $h(t)=\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }$ とおくと、$$F(x)={\int }_x^{x+a}h(t)dt$$である。積分区間の上下端がともに $x$ によって動くので、$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=h(x+a)-h(x)=\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }x+a\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }$$ である。

次に $F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ を解く。$h(u)=h(v)$ は $\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }$ であり、これは $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }$ または $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=2$ と同値である。ここで $u=x+a$、$v=x$ とする。

まず $\mathrm{\mid }x+a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ から $$x=-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ を得る。これはすべての $a>0$ で解である。

次に $\mathrm{\mid }x+a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=2$ を考える。点 $-a$ と $0$ からの距離の和が $2$ であるという条件である。$0<a<2$ のときは $$x=-1-{\displaystyle \frac{a}{2}},x=1-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ を得る。$a=2$ のときは、区間 $-2\leqq x\leqq 0$ のすべてで $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=2$ となる。$a>2$ のときは、この方程式に解はない。

したがって、$F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となる $x$ は $$0<a<2\text{ のとき }-1-{\displaystyle \frac{a}{2}},-{\displaystyle \frac{a}{2}},1-{\displaystyle \frac{a}{2}},$$ $$a=2\text{ のとき }-2\leqq x\leqq 0,$$ $$a>2\text{ のとき }-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。

(2) $0<a<2$ とする。このとき、$F^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $-,+,-,+$ の順に変化する。したがって $$x=-1-{\displaystyle \frac{a}{2}},x=1-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ で極小となり、$$x=-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ で極大となる。

まず $x=-a\mathrm{/}2$ のとき、積分区間は $[-{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}}]$ である。$0<a<2$ なので、この区間では $h(t)=1-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(-{\displaystyle \frac{a}{2}})}& {\displaystyle =2{\int }_0^{a\mathrm{/}2}(1-t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[t-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}]}_0^{a\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$これが極大値である。

次に $x=-1-a\mathrm{/}2$ のとき、積分区間は $[-1-{\displaystyle \frac{a}{2}},-1+{\displaystyle \frac{a}{2}}]$ であり、$-1$ を中心とする長さ $a$ の区間である。この区間では $h(t)=\mathrm{\mid }t+1\mathrm{\mid }$ だから、$$F(-1-{\displaystyle \frac{a}{2}})=2{\int }_0^{a\mathrm{/}2}udu={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$である。同様に、$x=1-a\mathrm{/}2$ のときは $1$ を中心とする区間となり、$$F(1-{\displaystyle \frac{a}{2}})={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ である。したがって $$\text{極大値 }a-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}(x=-{\displaystyle \frac{a}{2}}),$$ $$\text{極小値 }{\displaystyle \frac{a^2}{4}}(x=-1-{\displaystyle \frac{a}{2}},1-{\displaystyle \frac{a}{2}})$$である。

(3) $a>2$ とする。このとき $F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となる点は $x=-a\mathrm{/}2$ だけであり、符号はそこで負から正に変わる。したがって $x=-a\mathrm{/}2$ で極小となる。

このとき積分区間は $[-{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}}]$ である。関数 $h(t)$ は偶関数なので、$$F(-{\displaystyle \frac{a}{2}})=2{\int }_0^{a\mathrm{/}2}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }dt=2{\int }_0^{a\mathrm{/}2}\mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }dt$$である。$a\mathrm{/}2>1$ より、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(-{\displaystyle \frac{a}{2}})}& {\displaystyle =2\{{\int }_0^1(1-t)dt+{\int }_1^{a\mathrm{/}2}(t-1)dt\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\{{\displaystyle \frac{1}{2}}+({\displaystyle \frac{a^2}{8}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a+2.}\end{array}$$したがって $$\text{極小値 }{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a+2(x=-{\displaystyle \frac{a}{2}})$$ である。