北海道大学 2001年度 前期日程文系数学 第4問

(1)

2連勝が起こらない場合を考える。1回目の勝者は誰でもよいが、2回目以降は、直前の勝者が勝つとその時点で2連勝になる。したがって、2連勝しないためには、2回目、3回目、4回目の各回で直前の勝者が負けなければならない。

各勝負で直前の勝者が負ける確率は $1\mathrm{/}2$ であるから、4回終了まで誰も2連勝しない確率は $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

よって、誰かが2連勝して終了する確率は余事象を用いて $1-{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$ である。

(2) $A$ が2連勝して終了する場合を、勝者列で数える。

まず1回目、2回目に続けて $A$ が勝つ場合がある。勝者列は $A,A$ であり、その確率は $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

次に、2回目または3回目で別の人が2連勝してはいけないので、1回目に $A$ が勝たない場合から $A$ が最後に2連勝するには $B,C,A,A$ という勝者列しかない。この確率は $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4={\displaystyle \frac{1}{16}}$$ である。

以上は互いに重ならないので、求める確率は $${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$$ である。

第 $m$ 回まで2連勝が起きない確率を再帰的に求める。
$A$ の優勝については、終了時刻が2回目または4回目に限られることを使い、
それぞれの勝者列を確定する。

(1)

$u_m$ を、第 $m$ 回終了時まで誰も2連勝していない確率とする。
第1回終了時には必ずゲームが続くので $u_1=1$ である。
ゲームが続いているとき、次の回で直前の勝者が負ける確率は
${\displaystyle \frac{1}{2}}$ だから$$u_{m+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_m\mathrm{.}$$よって$$u_4={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$したがって4回までに誰かが2連勝する確率は$$1-u_4={\displaystyle \frac{7}{8}}\mathrm{.}$$(2)

$A$ が2連勝して終了する時刻は2回目または4回目である。
2回目なら勝者列は $AA$ で、確率は$${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$4回目なら、途中で2連勝せず、3回目と4回目を $A$ が勝つ必要がある。
参加者の推移まで考えると勝者列は $BCAA$ に限られ、確率は$${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4={\displaystyle \frac{1}{16}}\mathrm{.}$$両者は排反なので、求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{5}{16}}\mathrm{.}$$