北海道大学 2004年度 前期日程理系数学 第5問

(1)
サイコロの目が $1,3$ のときだけ部屋を移るから、1回の試行で部屋を移る確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ であり、移らない確率は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。初めは部屋 $A$ にいるので、$$P_A(1)={\displaystyle \frac{2}{3}},P_B(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

2回目については$$P_A(2)={\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_A(1)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_B(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$$であり、$P_B(2)={\displaystyle \frac{4}{9}}$ である。さらに $$P_A(3)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{14}{27}}$$ であり、$$P_B(3)={\displaystyle \frac{13}{27}}$$ である。

第 $k$ 試行後の得点増分は、部屋 $A$ にいれば $+1$、部屋 $B$ にいれば $-1$ である。したがって、その期待値は $P_A(k)-P_B(k)$ である。初期持ち点は $1$ なので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(3)}& {\displaystyle =1+({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})+({\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{9}})+({\displaystyle \frac{14}{27}}-{\displaystyle \frac{13}{27}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{27}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{40}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
第 $n+1$ 試行後に部屋 $A$ にいるのは、第 $n$ 試行後に $A$ にいて移らない場合と、第 $n$ 試行後に $B$ にいて移る場合である。したがって $$P_A(n+1)={\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_A(n)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_B(n)$$ である。同様に $$P_B(n+1)={\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_A(n)+{\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_B(n)$$ である。

(3)
(2) の2式を引くと $$P_A(n+1)-P_B(n+1)={\displaystyle \frac{1}{3}}\{P_A(n)-P_B(n)\}$$ である。$P_A(0)-P_B(0)=1$ だから $$P_A(n)-P_B(n)={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$$ である。また $P_A(n)+P_B(n)=1$ なので、$$P_A(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{3^n}}),P_B(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})$$である。

(4)
第 $k$ 試行後の得点増分の期待値は $$P_A(k)-P_B(k)={\displaystyle \frac{1}{3^k}}$$ である。初期持ち点は $1$ なので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(n)}& {\displaystyle =1+\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3^n}}\mathrm{.}}\end{array}$$

移動回数の偶奇で部屋を判定し、二項展開から確率差を直接求める。確率の漸化式を併記し、期待値は各回の期待増分を有限等比和として足す。

(1)
移動確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。移動回数の偶奇を使うと$$P_A(n)+P_B(n)=1,P_A(n)-P_B(n)={({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n={\displaystyle \frac{1}{3^n}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{cccc}n& 1& 2& 3\\ P_A(n)& {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{5}{9}}& {\displaystyle \frac{14}{27}}\\ P_B(n)& {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{4}{9}}& {\displaystyle \frac{13}{27}}\end{array}$$であり、$$E(3)=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{27}}={\displaystyle \frac{40}{27}}\mathrm{.}$$(2)
1回先の部屋について場合分けすると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_A(n+1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_A(n)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_B(n),}\\ {\displaystyle P_B(n+1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_A(n)+{\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_B(n)\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
和と差から$$P_A(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{3^n}}),P_B(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})$$である。

(4)
第 $k$ 回の期待増分は $3^{-k}$ だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(n)}& {\displaystyle =1+\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3^n}}\mathrm{.}}\end{array}$$