北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 確率理系数学 第5問(b)

(1)

13人を，日曜日生まれ，土曜日生まれ，その他の曜日生まれの三種類に分けて考える。それぞれの確率は ${\displaystyle \frac{1}{7}},{\displaystyle \frac{1}{7}},{\displaystyle \frac{5}{7}}$ である。 $X=k,Y=m$ となるには，13人のうち日曜日生まれを $k$ 人，土曜日生まれを $m$ 人，その他を $13-k-m$ 人選べばよい。したがって$$P(X=k,Y=m)={\displaystyle \frac{13!}{k!m!(13-k-m)!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{7}}\right)}^{k+m}{\left({\displaystyle \frac{5}{7}}\right)}^{13-k-m}$$である。

(2) $m=2$ と固定する。このとき $k$ は $0\leqq k\leqq 11$ を動く。隣り合う確率の比を取ると$${\displaystyle \frac{P(X=k+1,Y=2)}{P(X=k,Y=2)}}={\displaystyle \frac{11-k}{k+1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{11-k}{5(k+1)}}\mathrm{.}$$この比が $1$ 以上である条件は $11-k\geqq 5(k+1)$ すなわち $k\leqq 1$ である。したがって確率は $k=0$ から $k=1$ へ増加し，$k=1$ から $k=2$ では比が $1$ なので同じ値を取り，その後は減少する。

よって最大となるのは $k=1,k=2$ である。

(1) は13人を3群に分ける多項分布として数える。(2)は $Y=2$ と分かった後の残り11人に条件を付け、日曜生まれの人数を二項分布として比で最大化する。

(1)

日曜日生まれ $k$ 人、土曜日生まれ $m$ 人、その他 $13-k-m$ 人の選び方は$${\displaystyle \frac{13!}{k!m!(13-k-m)!}}$$通りである。各配置の確率を掛けて$$P(X=k,Y=m)={\displaystyle \frac{13!}{k!m!(13-k-m)!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{7}}\right)}^{k+m}{\left({\displaystyle \frac{5}{7}}\right)}^{13-k-m}$$を得る。

(2)

$Y=2$ となる土曜日生まれの2人を除いた11人は、いずれも「土曜日以外」に生まれている。この条件のもとで一人が日曜日生まれである確率は$${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}7}{6\mathrm{/}7}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$したがって $Y=2$ を固定したとき、$X$ の $k$ による変化は$$Q_k={}_{11}{\mathrm{C}}_k{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{11-k}$$に比例する。隣接比は$${\displaystyle \frac{Q_{k+1}}{Q_k}}={\displaystyle \frac{11-k}{5(k+1)}}\mathrm{.}$$これは $k=0$ で $1$ より大きく、$k=1$ で $1$、$k\geqq 2$ で $1$ より小さい。よって最大となるのは$$k=1,2$$である。