北海道大学 2004年度 前期日程文系数学 第4問

(1)
サイコロの目が $1,3$ のときだけ部屋を移るので、1回の試行で部屋を移る確率は $${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であり、同じ部屋にとどまる確率は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。

最初は部屋 $A$ にいるから、1回目の後は $$P_A(1)={\displaystyle \frac{2}{3}},P_B(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。2回目は、$A$ にいてとどまる場合、または $B$ にいて移る場合に $A$ にいるので、$$P_A(2)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$$ である。したがって $$P_B(2)=1-{\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ である。さらに $$P_A(3)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{14}{27}}$$ であり、$$P_B(3)=1-{\displaystyle \frac{14}{27}}={\displaystyle \frac{13}{27}}$$ である。

第 $k$ 試行の結果、部屋 $A$ にいれば得点は $+1$、部屋 $B$ にいれば得点は $-1$ だけ変化する。したがって第 $k$ 試行での得点増分の期待値は $P_A(k)-P_B(k)$ である。初期持ち点は $1$ なので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(3)}& {\displaystyle =1+\{P_A(1)-P_B(1)\}+\{P_A(2)-P_B(2)\}+\{P_A(3)-P_B(3)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{27}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{40}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
第 $n+1$ 試行後に部屋 $A$ にいるのは、第 $n$ 試行後に $A$ にいて移らない場合、または $B$ にいて移る場合である。よって $$P_A(n+1)={\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_A(n)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_B(n)$$ である。同様に $$P_B(n+1)={\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_A(n)+{\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_B(n)$$ である。

(3)
(2) の2式を引くと $$P_A(n+1)-P_B(n+1)={\displaystyle \frac{1}{3}}\{P_A(n)-P_B(n)\}$$ である。初期状態から $P_A(0)-P_B(0)=1$ なので、$$P_A(n)-P_B(n)={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$$ である。また、必ずどちらかの部屋にいるので $P_A(n)+P_B(n)=1$ である。和と差を解けば$$P_A(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{3^n}}),P_B(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})$$となる。

各試行で部屋を移ったかどうかだけに注目する。移動回数が偶数なら部屋A、奇数なら部屋Bにいる。二項展開の偶数項・奇数項の差から確率差を直接求め、低い回数と期待値も同じ式から計算する。

(1)
1回ごとに移動する確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$、移動しない確率は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。第 $n$ 試行までの移動回数が偶数なら $A$、奇数なら $B$ にいる。したがって二項展開の偶数項・奇数項の和から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_A(n)+P_B(n)}& {\displaystyle =1,}\\ {\displaystyle P_A(n)-P_B(n)}& {\displaystyle ={({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n={\displaystyle \frac{1}{3^n}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{cccc}n& 1& 2& 3\\ P_A(n)& {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{5}{9}}& {\displaystyle \frac{14}{27}}\\ P_B(n)& {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{4}{9}}& {\displaystyle \frac{13}{27}}\end{array}$$である。初期持ち点は $1$、第 $k$ 回の期待増分は $3^{-k}$ だから、$$E(3)=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{27}}={\displaystyle \frac{40}{27}}\mathrm{.}$$(2)
直前に同じ部屋にいて移動しない場合と、反対の部屋にいて移動する場合を分けると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_A(n+1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_A(n)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_B(n),}\\ {\displaystyle P_B(n+1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_A(n)+{\displaystyle \frac{2}{3}}{P}_B(n)\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
上で得た和と差を解けば、$$P_A(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{3^n}}),P_B(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})$$である。