北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

8回のうち正の向きに進む回数を $r$ とする。このとき負の向きに進む回数は $8-r$ であり、$X(8)=r-(8-r)=2r-8$ である。$X(8)=2$ となるには $2r-8=2$ すなわち $r=5$ であればよい。

したがって、8回のうち正方向への移動を5回選ぶので $$P(X(8)=2)={\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_5}{2^8}}={\displaystyle \frac{56}{256}}={\displaystyle \frac{7}{32}}$$ である。

(2)

7回後の座標は $-7,-5,-3,-1,1,3,5,7$ のいずれかである。正方向の回数を $r$ とすると $X(7)=2r-7$ である。

左右対称性を用いて、正の座標だけを数えて2倍する。正の座標 $1,3,5,7$ に対応する正方向の回数はそれぞれ $r=4,5,6,7$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(\mathrm{\mid }X(7)\mathrm{\mid })}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{2^7}}(1\cdot {}_7{\mathrm{C}}_4+3\cdot {}_7{\mathrm{C}}_5+5\cdot {}_7{\mathrm{C}}_6+7\cdot {}_7{\mathrm{C}}_7)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{128}}(35+63+35+7)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{280}{128}}={\displaystyle \frac{35}{16}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

6回の移動が終わるまで一度も $O$ に戻らない経路を数える。全経路は $2^6=64$ 通りである。

まず第1歩が正の向きである場合を考える。この場合、各時点の座標が常に正であればよい。6歩後の座標は正の偶数なので、可能な終点は $2,4,6$ である。

6歩で終点が2となる経路は、正方向4回、負方向2回である。このうち途中で0に戻らず常に正であるものは、投票型の数え上げにより $${\displaystyle \frac{2}{6}}{}_6{\mathrm{C}}_4=5$$ 通りである。同様に終点が4のものは $${\displaystyle \frac{4}{6}}{}_6{\mathrm{C}}_5=4$$ 通り、終点が6のものは ${}_6{\mathrm{C}}_6=1$ 通りである。したがって、第1歩が正の向きの場合は $5+4+1=10$ 通りである。

第1歩が負の向きの場合も、符号をすべて反対にする対応により同じく10通りである。よって条件を満たす経路は $20$ 通りであり、求める確率は $${\displaystyle \frac{20}{64}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$$ である。

原点へ戻らない経路

(1) ,(2)は二項分布をそのまま用いる。(3)は投票公式を使わず、第1歩を正に固定した後の「正の位置にとどまる経路数」を時刻ごとの表で更新する。負側は符号反転で同数になる。

(1)
正方向への移動回数を $R$ とすると$$R\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(8,{\displaystyle \frac{1}{2}}),X(8)=2R-8.$$したがって$$\mathrm{Pr}(X(8)=2)=\mathrm{Pr}(R=5)={\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_5}{2^8}}={\displaystyle \frac{7}{32}}\mathrm{.}$$(2)
左右対称性より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(\mathrm{\mid }X(7)\mathrm{\mid })}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{2^7}}\sum _{r=4}^7(2r-7){}_7{\mathrm{C}}_r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{128}}(35+63+35+7)={\displaystyle \frac{35}{16}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
第1歩を正に固定する。原点へ戻らない経路数を、各時刻の正の位置ごとに更新すると$$\begin{array}{cc}\text{時刻}& \text{multicolumn}3c\text{正の位置ごとの経路数}\\ 1& 1& & \\ 2& 1& & \\ 3& 1& 1& \\ 4& 2& 1& \\ 5& 2& 3& 1\\ 6& 5& 4& 1\end{array}$$となる。第1歩が正の経路は $5+4+1=10$ 通りである。負側も10通りだから$${\displaystyle \frac{20}{2^6}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$$である。