北海道大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $b=2^k$ とする。 $k=0$ のときは $a_1=1$ であり、漸化式より $a_2={\displaystyle \frac{1}{a_1}}=1$ なので、以後すべて1である。 $k>0$ のとき、$a_1=2^k\geqq 1$ だから $a_2=2^{-k}$ である。その後は1未満の間は2倍されるので、有限回で1に到達する。具体的には $2^{-k},2^{-k+1},\dots ,{\displaystyle \frac{1}{2}},1$ と進む。 $k<0$ のときは $a_1=2^k<1$ であり、はじめから2倍を繰り返して有限回で1に到達する。

いずれの場合も、ある番号以後は $1\mapsto 1$ となる。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1$$ である。

(2) $0<b<1$、$b\mathrm{\ne }{2}^k$ とする。$a_n<1$ の間は $a_{n+1}=2a_n$ なので、初めて1を越える直前までは $a_n=2^{n-1}b$ である。$m$ の定義より $a_m<1<a_{m+1}$ であり、したがって $2^{m-1}b<1<2^{m}b$ である。

ここで $\lambda =2^{m}b$ とおく。すると $1<\lambda <2$ であり、$$a_m=2^{m-1}b={\displaystyle \frac{\lambda }{2}},a_{m+1}=2^{m}b=\lambda$$ である。

この後の項を漸化式で順に求めると、$1<\lambda <2$ より $a_{m+2}={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ である。これは1未満なので $a_{m+3}={\displaystyle \frac{2}{\lambda }}$ となる。さらに $1<\lambda <2$ だから $2\mathrm{/}\lambda >1$ であり、次は逆数をとって $$a_{m+4}={\displaystyle \frac{\lambda }{2}}$$ である。これは $a_m$ と同じなので、以後は4周期で繰り返す。

よって第n項は次のように表される。まず $1\leqq n\leqq m+1$ では $a_n=2^{n-1}b$ である。また $j=0,1,2,\dots$ に対して$$a_{m+4j}={\displaystyle \frac{\lambda }{2}},a_{m+4j+1}=\lambda ,a_{m+4j+2}={\displaystyle \frac{1}{\lambda }},a_{m+4j+3}={\displaystyle \frac{2}{\lambda }}$$である。ただし $\lambda =2^{m}b$ である。

しきい値1をまたいだ後の4周期

正の数 $a_n$ の2進対数 $x_n={\log }_2{a}_n$ を取る。漸化式を、$x_n\ge 0$ なら符号反転、$x_n<0$ なら1を加える区分線形写像へ変換し、整数の場合の吸収と非整数の場合の4周期を読む。

$$x_n={\log }_2{a}_n$$と置くと、漸化式は$$x_{n+1}=\{\begin{array}{ll}-x_n& (x_n\geqq 0),\\ x_n+1& (x_n<0)\end{array}$$となる。

(1)

$b=2^k$ なら $x_1=k\in \mathbb{Z}$ である。整数 $k$ は、負なら1ずつ増え、正なら一度符号を反転した後に1ずつ増えて、有限回で0に達する。0は写像の不動点なので、以後 $x_n=0$、したがって $a_n=1$ である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1.$$(2)

$m$ の定義より$$2^{m-1}b<1<2^{m}b\mathrm{.}$$$\lambda =2^{m}b$ と置けば $1<\lambda <2$ である。したがって$$a_m={\displaystyle \frac{\lambda }{2}},a_{m+1}=\lambda ,a_{m+2}={\displaystyle \frac{1}{\lambda }},a_{m+3}={\displaystyle \frac{2}{\lambda }},a_{m+4}={\displaystyle \frac{\lambda }{2}}\mathrm{.}$$以後はこの4項を繰り返す。また、しきい値をまたぐまでは$$a_n=2^{n-1}b(1\leqq n\leqq m+1)\mathrm{.}$$よって $j=0,1,2,\dots$ に対して$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle a_{m+4j}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\lambda }{2}},}& {\displaystyle a_{m+4j+1}}& {\displaystyle =\lambda ,}\\ {\displaystyle a_{m+4j+2}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }},}& {\displaystyle a_{m+4j+3}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{\lambda }}}\end{array}$$である。