北海道大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

曲線は $y=p{x}^p$ である。導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=p^2{x}^{p-1}$ だから、点 $(a_k,p{a}_k^p)$ における接線 $l_k$ は $$y-p{a}_k^p=p^2{a}_k^{p-1}(x-a_k)$$ である。

この接線と $x$ 軸との交点では $y=0$ なので $$-p{a}_k^p=p^2{a}_k^{p-1}(x-a_k)$$ である。$a_k>0$ より割り算して $$x-a_k=-{\displaystyle \frac{a_k}{p}}$$ となる。したがって $$x={\displaystyle \frac{p-1}{p}}{a}_k$$ である。これが $a_{k+1}$ だから $$a_{k+1}={\displaystyle \frac{p-1}{p}}{a}_k$$ である。 $a_1=1$ より、$a_k$ は公比 $(p-1)\mathrm{/}p$ の等比数列である。したがって $$a_k={\left({\displaystyle \frac{p-1}{p}}\right)}^{k-1}$$ である。

(2)

以後 $$q={\displaystyle \frac{p-1}{p}}$$ とおく。すると $a_{k+1}=q{a}_k$ であり、$0<q<1$ である。

まず $A_k$ を求める。三角形の底辺は $$a_k-a_{k+1}=a_k(1-q)={\displaystyle \frac{a_k}{p}}$$ であり、高さは $p{a}_k^p$ である。よって $$A_k={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{a_k}{p}}\cdot p{a}_k^p={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_k^{p+1}$$ である。したがって $$\sum _{k=1}^n{A}_k={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{k=1}^n{q}^{(k-1)(p+1)}$$ であり、$0<q^{p+1}<1$ だから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{A}_k={\displaystyle \frac{1}{2(1-q^{p+1})}}$$ である。

次に $B_k$ を求める。接線の式は、$x=a_{k}t$ とおくと $y=p{a}_k^p\{1+p(t-1)\}$ となる。一方、曲線は $y=p(a_{k}t{)}^p=p{a}_k^p{t}^p$ である。$p>1$ なので曲線 $y=p{x}^p$ は下に凸であり、接線は曲線の下側にある。したがって $$B_k={\int }_{a_{k+1}}^{a_k}\{p{x}^p-\text{接線の }y\}dx$$ である。$x=a_{k}t$、$dx=a_{k}dt$、積分範囲 $q\leqq t\leqq 1$ を用いると $$B_k=p{a}_k^{p+1}{\int }_q^1\{t^p-1-p(t-1)\}dt$$ である。

ここで $${\int }_q^1{t}^{p}dt={\displaystyle \frac{1-q^{p+1}}{p+1}}$$ である。また、直線 $1+p(t-1)$ は $t=q$ で0、$t=1$ で1となるので $${\int }_q^1\{1+p(t-1)\}dt={\displaystyle \frac{1-q}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2p}}$$ である。したがって $$p{\int }_q^1\{t^p-1-p(t-1)\}dt={\displaystyle \frac{p(1-q^{p+1})}{p+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。よって $$B_k=\{{\displaystyle \frac{p(1-q^{p+1})}{p+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}{a}_k^{p+1}$$ である。

したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{B}_k=\{{\displaystyle \frac{p(1-q^{p+1})}{p+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}{\displaystyle \frac{1}{1-q^{p+1}}}$$であり、整理して$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{B}_k={\displaystyle \frac{p}{p+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2(1-q^{p+1})}}$$である。$q=(p-1)\mathrm{/}p$ を戻すと$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{A}_k={\displaystyle \frac{1}{2\{1-{\left({\displaystyle \frac{p-1}{p}}\right)}^{p+1}\}}}$$であり、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{B}_k={\displaystyle \frac{p}{p+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2\{1-{\left({\displaystyle \frac{p-1}{p}}\right)}^{p+1}\}}}$$である。

各区間 $[a_{k+1},a_k]$ で、曲線下の面積がちょうど $A_k+B_k$ になることを使う。全区間が $(0,1]$ を分割するため、総面積を一度に積分し、等比級数で求めた $A_k$ の総和を引く。

(1)

接線は$$y-p{a}_k^p=p^2{a}_k^{p-1}(x-a_k)\mathrm{.}$$$y=0$ とすれば$$a_{k+1}={\displaystyle \frac{p-1}{p}}{a}_k\mathrm{.}$$$$q={\displaystyle \frac{p-1}{p}}$$とおくと$$a_k=q^{k-1}\mathrm{.}$$(2)

$A_k$ は底辺 $a_k-a_{k+1}=a_k\mathrm{/}p$、高さ $p{a}_k^p$ の三角形だから$$A_k={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_k^{p+1}\mathrm{.}$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{A}_k={\displaystyle \frac{1}{2(1-q^{p+1})}}\mathrm{.}$$区間 $[a_{k+1},a_k]$ では、接線の下の三角形が $A_k$、曲線と接線の間が $B_k$ なので$$A_k+B_k={\int }_{a_{k+1}}^{a_k}p{x}^{p}dx\mathrm{.}$$区間 $[a_{k+1},a_k]$ は重ならず、その和は $(0,1]$ を覆う。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n(A_k+B_k)={\int }_0^{1}p{x}^{p}dx={\displaystyle \frac{p}{p+1}}\mathrm{.}$$ゆえに$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{B}_k={\displaystyle \frac{p}{p+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2(1-q^{p+1})}}\mathrm{.}$$$q=(p-1)\mathrm{/}p$ を戻せば、求める2つの極限が得られる。