北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

漸化式 $a_{n+1}=p{a}_n+p^{-n}$ を順に展開する。まず $a_2=p+p^{-1}$ であり、$$a_3=p(p+p^{-1})+p^{-2}=p^2+1+p^{-2}$$ である。この形から、一般に $$a_n=p^{n-1}+p^{n-3}+\cdots +p^{1-n}$$ となることがわかる。実際、右辺を $p$ 倍して $p^{-n}$ を加えると、次の $a_{n+1}$ の形になるので帰納的に正しい。

(1) $\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }=1$ で $p$ は実数だから $$p=1\text{または}p=-1$$ である。上で得た和には $n$ 個の項があり、指数はすべて $n-1$ と同じ偶奇である。したがって $a_n=n{p}^{n-1}$ である。すなわち $$p=1\text{ のとき }{a}_n=n,p=-1\text{ のとき }{a}_n=(-1{)}^{n-1}n$$ である。

(2) $\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }1$ のときは、$p^2\mathrm{\ne }1$ である。したがって $$a_n=p^{n-1}(1+p^{-2}+p^{-4}+\cdots +p^{-2(n-1)})$$ であり、等比数列の和を用いて $$a_n=p^{n-1}{\displaystyle \frac{1-p^{-2n}}{1-p^{-2}}}$$ となる。分母分子を整理すると $$a_n={\displaystyle \frac{p^{n+1}-p^{1-n}}{p^2-1}}$$ である。

(3) $\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }>1$ のとき、(2)の式で $p^{n+1}$ が支配的であるから $${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\to p$$ である。 $p=1$ のときは $a_n=n$ なので $${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{n+1}{n}}\to 1=p$$ である。$p=-1$ のときは $a_n=(-1{)}^{n-1}n$ なので $${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=-{\displaystyle \frac{n+1}{n}}\to -1=p$$ である。 $\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }<1$ のとき、(2)の式では $p^{1-n}$ が支配的である。したがって $$a_n\sim -{\displaystyle \frac{p^{1-n}}{p^2-1}}$$ であり、$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\to {\displaystyle \frac{1}{p}}$$ である。以上より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=\{\begin{array}{ll}p& (\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\geqq 1),\\ {\displaystyle \frac{1}{p}}& (\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }<1)\end{array}$$である。

$b_n=p^{1-n}{a}_n$ と置いて指数の伸びを消し、等比級数の部分和へ帰着する。一般項を絶対値 $\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }$ の3場合に分け、比の極限で支配的な項を明示する。

(1)

$p\mathrm{\ne }0$ とし、まず一般に$$b_n=p^{1-n}{a}_n$$とおく。与えられた漸化式から$$b_{n+1}=b_n+p^{-2n},b_1=1.$$よって$$b_n=\sum _{j=0}^{n-1}{p}^{-2j}\mathrm{.}$$したがって$$a_n=p^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{p}^{-2j}=p^{n-1}+p^{n-3}+\cdots +p^{1-n}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }=1$ なら $p=\pm 1$ だから$$a_n=n{p}^{n-1}\mathrm{.}$$(2)

$\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }1$、すなわち $p^2\mathrm{\ne }1$ なら等比級数を計算して$$a_n={\displaystyle \frac{p^{n+1}-p^{1-n}}{p^2-1}}\mathrm{.}$$(3)

$\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }>1$ では $p^{n+1}$ が支配的なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=p\mathrm{.}$$$0<\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }<1$ では $p^{-n}$ 側が支配的なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{1}{p}}\mathrm{.}$$$p=1$ なら $a_n=n$、$p=-1$ なら $a_n=n(-1{)}^{n-1}$ だから、いずれも極限は $p$ である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=\{\begin{array}{ll}p& (\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\geqq 1),\\ {\displaystyle \frac{1}{p}}& (0<\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }<1)\mathrm{.}\end{array}$$