北海道大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

右辺の和には，$k=1$ の項 $a_1{a}_{n+1}$ と $k=n+1$ の項 $a_{n+1}{a}_1$ が含まれる。$a_1=1$ だから，この二つは合わせて $2a_{n+1}$ である。その他の項は $a_1,\dots ,a_n$ だけで決まるので，条件を満たす数列は一意に決まる。

いま $a_n={\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}}$ とおくと，$a_1=1$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}{a}_k{a}_{n+2-k}}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n+1}{\displaystyle \frac{1}{(k-1)!}}{\displaystyle \frac{1}{(n+1-k)!}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $j=k-1$ とおくと，$j=0,1,\dots ,n$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}{a}_k{a}_{n+2-k}}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^n{\displaystyle \frac{1}{j!(n-j)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{n!}}\sum _{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2^n}{n!}}\mathrm{.}}\end{array}$$よってこの候補は与えられた条件を満たす。一意性より，求める一般項は $a_n={\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}}$ である。

予想した一般項を代入するだけでなく、漸化式の端の2項から次項を決める数学的帰納法で導く。内部の和は二項定理で評価する。

数学的帰納法で$$a_n={\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}}$$を示す。

$n=1$ では $a_1=1=1\mathrm{/}0!$ で成り立つ。いま$$a_j={\displaystyle \frac{1}{(j-1)!}}(1\leqq j\leqq n)$$と仮定する。与えられた $n$ に対する式の右辺で、$k=1,n+1$ の2項は合わせて $2a_{n+1}$ である。残りは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=2}^n{a}_k{a}_{n+2-k}}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{j!(n-j)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{n!}}\sum _{j=1}^{n-1}{}_n{\mathrm{C}}_j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2^n-2}{n!}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$${\displaystyle \frac{2^n}{n!}}=2a_{n+1}+{\displaystyle \frac{2^n-2}{n!}},$$よって$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n!}}\mathrm{.}$$帰納法により、すべての正の整数 $n$ について$$a_n={\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}}$$である。