北海道大学 2005年度 前期日程理系数学 第3問

(1) $m$ は自然数であるから、$t\geqq 0$ で $t^m$ は単調に増加する。したがって $k=1,2,\dots ,n$ について、$k-1\leqq t\leqq k$ なら $t^m\leqq k^m$ である。よって$${\int }_{k-1}^k{t}^{m}dt\leqq k^m$$である。

また、$k\leqq t\leqq k+1$ なら $k^m\leqq t^m$ であるから$$k^m\leqq {\int }_k^{k+1}{t}^{m}dt$$である。これらを $k=1$ から $n$ まで加えると$${\int }_0^n{t}^{m}dt\leqq \sum _{k=1}^n{k}^m\leqq {\int }_1^{n+1}{t}^{m}dt$$を得る。右辺は $t=u+1$ とおけば$${\int }_1^{n+1}{t}^{m}dt={\int }_0^n(u+1{)}^{m}du$$である。文字を $t$ に戻して$${\int }_0^n{t}^{m}dt\leqq \sum _{k=1}^n{k}^m\leqq {\int }_0^n(t+1{)}^{m}dt$$が示された。

(2) $f(x)$ の次数を $r$ とし、最高次の係数が1であるから $$f(x)=x^r+c_{r-1}{x}^{r-1}+\cdots +c_{1}x+c_0$$ と書ける。

まず最高次項について(1)を $m=r$ に適用すると$${\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}{\int }_0^n{t}^{r}dt\leqq {\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}\sum _{k=1}^n{k}^r\leqq {\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}{\int }_0^n(t+1{)}^{r}dt$$である。左辺は $${\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}\cdot {\displaystyle \frac{n^{r+1}}{r+1}}={\displaystyle \frac{1}{r+1}}$$ であり、右辺は $${\displaystyle \frac{(n+1{)}^{r+1}-1}{(r+1)n^{r+1}}}\to {\displaystyle \frac{1}{r+1}}$$ である。よってはさみうちにより$${\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}\sum _{k=1}^n{k}^r\to {\displaystyle \frac{1}{r+1}}$$である。

次に、$0\leqq j\leqq r-1$ については、(1)または単純な評価から$$\sum _{k=1}^n{k}^j$$は高々 $n^{j+1}$ 程度の大きさである。したがって$${\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}\sum _{k=1}^n{k}^j\to 0(0\leqq j\leqq r-1)$$である。ゆえに低次の項は極限に寄与せず、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}\sum _{k=1}^{n}f(k)={\displaystyle \frac{1}{r+1}}$$が成り立つ。

(3)

条件は$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(k)={\displaystyle \frac{1}{2}}f(n)$$である。$f(x)$ の次数を $r$ とする。(2)より$$\sum _{k=1}^{n}f(k)$$の最高次 $n^{r+1}$ の係数は $1\mathrm{/}(r+1)$ である。したがって$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(k)$$の最高次 $n^r$ の係数は ${\displaystyle \frac{1}{r+1}}$ である。一方、$f(n)$ の最高次係数は1なので、$f(n)\mathrm{/}2$ の $n^r$ の係数は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって ${\displaystyle \frac{1}{r+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となり、$r=1$ である。

したがって $f(x)=x+c$ とおける。これを条件に代入すると$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n(k+c)={\displaystyle \frac{1}{2}}(n+c)$$である。左辺は $${\displaystyle \frac{1}{n}}\{{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+cn\}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}+c$$ だから、$${\displaystyle \frac{n+1}{2}}+c={\displaystyle \frac{n+c}{2}}$$ である。両辺を2倍して $n+1+2c=n+c$ となるので $c=-1$ である。したがって $f(x)=x-1$ である。

実際、このとき$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n(k-1)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}-1={\displaystyle \frac{n-1}{2}}$$であり、$${\displaystyle \frac{1}{2}}f(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(n-1)$$ と一致する。

低次項評価の明確化

$0\leqq j\leqq r-1$ では$$0\leqq \sum _{k=1}^n{k}^j\leqq n^{j+1}$$だから$$\mid {\displaystyle \frac{c_j}{n^{r+1}}}\sum _{k=1}^n{k}^j\mid \leqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{c}_j\mathrm{\mid }}{n^{r-j}}}⟶0.$$これで低次項が消えることも定量的に確認できる。

(2) はリーマン和として最高次項の極限を求める。(3)は$$S_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)$$とおき、$S_n-S_{n-1}=f(n)$ から整数点上の値を直接決定する。

(1)

$t^m$ は $t\geqq 0$ で増加するので、各 $k=1,\dots ,n$ について$${\int }_{k-1}^k{t}^{m}dt\leqq k^m\leqq {\int }_k^{k+1}{t}^{m}dt\mathrm{.}$$これを足し、右端で変数を1だけ平行移動すれば、問題の不等式を得る。

(2) $$f(x)=x^r+c_{r-1}{x}^{r-1}+\cdots +c_0$$とする。すると$${\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}\sum _{k=1}^{n}f(k)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n\{{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^r+\sum _{j=0}^{r-1}{\displaystyle \frac{c_j}{n^{r-j}}}{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^j\}\mathrm{.}$$右辺は $n\to \mathrm{\infty }$ で、低次項が一様に0へ近づき、主項はリーマン和となる。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^{r+1}}}\sum _{k=1}^{n}f(k)={\int }_0^1{x}^{r}dx={\displaystyle \frac{1}{r+1}}\mathrm{.}$$(3)$$S_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)$$とおく。条件は $$S_n={\displaystyle \frac{n}{2}}f(n)$$ である。$n\geqq 2$ では$$f(n)=S_n-S_{n-1}={\displaystyle \frac{n}{2}}f(n)-{\displaystyle \frac{n-1}{2}}f(n-1),$$したがって$$(n-2)f(n)=(n-1)f(n-1)\mathrm{.}$$$n=2$ から $f(1)=0$ を得る。また $n\geqq 3$ では$${\displaystyle \frac{f(n)}{n-1}}={\displaystyle \frac{f(n-1)}{n-2}}$$なので、ある定数 $c$ により $f(n)=c(n-1)$ がすべての $n\geqq 2$ で成り立つ。整式 $f(x)-c(x-1)$ は無限個の根をもつから恒等的に0であり、最高次係数が1なので $c=1$ である。よって$$f(x)=x-1.$$