北大 2003年度理系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

方針

まず一定列になる初項は固定点方程式 $x = r x (1 - x)$ で求める。 $0 < r < 1$ なので固定点は $(r - 1) / r$ と0であり、これが $p < q$ になる。(2)では区間 $(p, 0)$ が漸化式で保たれることと、差 $a_{n + 1} - a_{n} = a_{n} {(r - 1) - r a_{n}}$ の符号を調べる。 $a_{n} < 0$ と $(r - 1) - r a_{n} < 0$ の積が正になるのが単調増加の理由である。(3)は単調増加かつ上に有界なので極限を持ち、その極限が固定点方程式を満たすことから0を選ぶ。

解答

(1)

すべての項が等しくなる初項を $x$ とする。このとき $x = r x (1 - x)$ を満たす必要がある。整理すると $x {r (1 - x) - 1} = 0$ である。したがって $x = 0$ または $r (1 - x) - 1 = 0$ である。後者から $x = \frac{r - 1}{r}$ を得る。 $0 < r < 1$ より $r - 1 < 0$ であるから $\frac{r - 1}{r} < 0$ である。よって、 $p < q$ となるように並べると $p = \frac{r - 1}{r}, q = 0$ である。

(2)

まず、 $p < a_{n} < 0$ であると仮定して、次の項もこの区間にあり、かつ $a_{n} < a_{n + 1}$ となることを示す。 $a_{n} < 0$ であるから $1 - a_{n} > 1 > 0$ である。したがって $a_{n + 1} = r a_{n} (1 - a_{n}) < 0$ である。

また $\begin{aligned} a_{n + 1} - a_{n} & = r a_{n} (1 - a_{n}) - a_{n} \\ = a_{n} {r (1 - a_{n}) - 1} \\ = a_{n} {(r - 1) - r a_{n}} . \end{aligned}$ ここで $p = \frac{r - 1}{r} < a_{n}$ だから、両辺に正の数 $r$ を掛けて $r p = r - 1 < r a_{n}$ である。よって $(r - 1) - r a_{n} < 0$ である。一方 $a_{n} < 0$ なので、 $a_{n} {(r - 1) - r a_{n}} > 0$ となる。したがって $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ すなわち $a_{n} < a_{n + 1}$ である。

さらに $a_{n} > p$ かつ $a_{n + 1} > a_{n}$ なので $p < a_{n + 1} < 0$ も成り立つ。初項 $a = a_{1}$ は $p < a_{1} < 0$ を満たすから、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ について $a_{n} < a_{n + 1}$ が成り立つ。

(3)

(2) より、 ${a_{n}}$ は単調増加である。またすべての $n$ で $a_{n} < 0$ であるから、上に有界である。したがって ${a_{n}}$ は極限をもつ。その極限を $L$ とする。

漸化式 $a_{n + 1} = r a_{n} (1 - a_{n})$ の両辺で $n \to \infty$ とすると $L = r L (1 - L)$ である。よって $L$ は(1)で求めた固定点のどちらかであり、 $L = 0 または L = \frac{r - 1}{r} = p$ である。

しかし、初項が $p < a_{1} < 0$ であり、さらに ${a_{n}}$ は単調増加だから $L ≧ a_{1} > p$ である。したがって $L = p$ はありえない。残る可能性は $L = 0$ である。ゆえに $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ が示された。

固定点間の単調増加

別解

解法2

方針

負の数列 $b_{n} = - a_{n}$ に変換する。初項条件は $0 < b_{1} < (1 - r) / r$ となり、 $b_{n + 1} = r b_{n} (1 + b_{n})$ 。一定の $0 < λ = r (1 + b_{1}) < 1$ を用いて $0 < b_{n + 1} < λ b_{n}$ と評価すれば、単調性と0への収束を同時に示せる。

解答

(1)
固定点方程式 $x = r x (1 - x)$ より $p = \frac{r - 1}{r}, q = 0.$ (2)
$b_{n} = - a_{n}$ と置く。 $p < a_{1} < 0$ は $0 < b_{1} < \frac{1 - r}{r}$ と同値である。また $b_{n + 1} = r b_{n} (1 + b_{n}) .$ $λ = r (1 + b_{1})$ と置けば、初項条件より $0 < λ < 1$ である。

まず $0 < b_{n + 1} < b_{n}$ を帰納的に示す。 $0 < b_{n} ≦ b_{1}$ なら $0 < b_{n + 1} = r (1 + b_{n}) b_{n} ≦ λ b_{n} < b_{n} .$ よってすべての $n$ で $b_{n + 1} < b_{n}$ 、すなわち $a_{n} < a_{n + 1}$ である。

(3)
さらに同じ評価を繰り返すと $0 < b_{n} ≦ λ^{n - 1} b_{1} .$ $0 < λ < 1$ だから右辺は0へ収束する。したがって $\lim_{n \to \infty} a_{n} = - \lim_{n \to \infty} b_{n} = 0.$

総評

難度6、計算量5。目安時間は18〜23分。固定点を求めてから、その間の区間 $(p, 0)$ が保たれることを示すタイプの漸化式問題である。 $p = (r - 1) / r$ は負、 $q = 0$ であるため、符号の扱いを誤ると単調性が逆になる。(2)では $(r - 1) - r a_{n} < 0$ と $a_{n} < 0$ の積が正になることを丁寧に書きたい。(3)は有界単調性で極限を置き、固定点方程式に戻すのが標準的である。

出典: 北海道大学 2003年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

北海道大学 2003年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第2問