北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

ちょうど3回目に終了するには，1回目と2回目は異なり，2回目と3回目が同じであればよい。1回目の出目は何でもよい。2回目が1回目と異なる確率は ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ であり，3回目が2回目と同じになる確率は ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。したがって $${\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{36}}}$$ である。

(2)

3回目以内に終了する場合は，2回目に終了する場合と，ちょうど3回目に終了する場合に分かれる。2回目に終了する確率は，2回目が1回目と同じである確率なので ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。よって $${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}}$$ である。

(3) $r\geqq 2$ とする。ちょうど $r$ 回目に終了するには，2回目から $r-1$ 回目までは毎回直前と異なり，$r$ 回目に直前と同じ目が出ればよい。

直前と異なる確率は各回で ${\displaystyle \frac{5}{6}}$，直前と同じ確率は ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。直前と異なる必要がある回数は $r-2$ 回であるから，求める確率は ${\displaystyle {\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{r-2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}}$ である。$r=2$ のときも，空積を1と見れば ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ となり，2回目終了の確率と一致する。

「ちょうど終了」は最後だけ一致し、それ以前の隣接する出目はすべて異なる。

ちょうど $r$ 回目に終了する出目列を数える。第1回は6通り、第2回から第 $r-1$ 回までは直前と異なる5通り、第 $r$ 回は直前と同じ1通りである。

(1)

ちょうど3回目に終了する列は、第1回が6通り、第2回が第1回と異なる5通り、第3回が第2回と同じ1通りである。全出目列は $6^3$ 通りだから$${\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 1}{6^3}}={\displaystyle \frac{5}{36}}$$である。

(2)

2回目に終了する列は6通り、ちょうど3回目に終了する列は $6\cdot 5$ 通りである。よって$${\displaystyle \frac{6+6\cdot 5}{6^3}}={\displaystyle \frac{11}{36}}$$である。

(3)

ちょうど $r$ 回目に終了する長さ $r$ の列は$$6\cdot 5^{r-2}\cdot 1$$通りである。全列 $6^r$ 通りで割ると$${\displaystyle \frac{6\cdot 5^{r-2}}{6^r}}={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{r-2}{\displaystyle \frac{1}{6}}$$となる。$r=2$ の場合にも同じ式が成り立つ。