北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

4回目以内に終了しないのは，2回目，3回目，4回目のすべてで，直前の目と異なる目が出る場合である。各回で直前と異なる確率は ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ であるから，4回目まで終了しない確率は ${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3$ である。

したがって，4回目以内に終了する確率はその余事象を引いて$$1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3=1-{\displaystyle \frac{125}{216}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{91}{216}}}$$である。

(2) $r\geqq 2$ とする。$r$ 回目以内に終了しないのは，2回目から $r$ 回目までの $r-1$ 回すべてで，直前と異なる目が出る場合である。したがってその確率は ${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{r-1}$ である。

よって，$r$ 回目以内に終了する確率は ${\displaystyle 1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{r-1}}$ である。

各回の具体的な目ではなく、「直前と違う」が何回続くかだけを追えばよい。

ちょうど $k$ 回目に終了する確率を先に求め、$k=2,\dots ,r$ について等比数列の和をとる。

ちょうど $k$ 回目に終了するには、第2回から第 $k-1$ 回まで直前と異なり、第 $k$ 回で直前と一致すればよい。したがって$$P(\text{ちょうど }k\text{ 回目})={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{k-2}{\displaystyle \frac{1}{6}}$$である。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(\text{4回目以内})}& {\displaystyle =\sum _{k=2}^4{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{k-2}{\displaystyle \frac{1}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1-(5\mathrm{/}6{)}^3}{1-5\mathrm{/}6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{91}{216}}}\end{array}$$である。

(2)

同様に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(r\text{ 回目以内})}& {\displaystyle =\sum _{k=2}^r{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{k-2}{\displaystyle \frac{1}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{r-1}}\end{array}$$である。