北海道大学 2005年度 前期日程文系数学 第4問

(1)

1回ごとに4色のいずれかが記録されるので、4回の記録全体は $4^4=256$ 通りである。

まず $X=4$、すなわち4色すべてが現れる場合を数える。4回で4色すべてが現れるには、4色がそれぞれ1回ずつ現れればよい。その並べ方は $4!=24$ 通りであるから $$P_4={\displaystyle \frac{24}{256}}={\displaystyle \frac{3}{32}}$$ である。

次に $X=3$ の場合を数える。現れる3色の選び方は ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通りである。選んだ3色だけを使って4回記録し、しかも3色すべてが少なくとも1回現れる列の数は、包除原理により $$3^4-{}_3{\mathrm{C}}_1{2}^4+{}_3{\mathrm{C}}_2{1}^4=81-48+3=36$$ 通りである。したがって $$P_3={\displaystyle \frac{4\cdot 36}{256}}={\displaystyle \frac{9}{16}}$$ である。

(2)

4色をそれぞれ固定し、その色が4回のうち少なくとも1回記録されれば1、まったく記録されなければ0をとる量を考える。この4つの量の和が、相異なる色の数 $X$ である。

1つの色に注目すると、その色が1回も出ない確率は ${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^4$ である。したがって、その色が少なくとも1回出る確率は $1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^4$ である。期待値の和を用いると $$E=4\{1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^4\}$$ となる。よって$$E=4(1-{\displaystyle \frac{81}{256}})=4\cdot {\displaystyle \frac{175}{256}}={\displaystyle \frac{175}{64}}$$である。

確率分布の検算$$P_1+P_2+P_3+P_4={\displaystyle \frac{1+21+36+6}{64}}=1$$であり、数え漏れがない。

相異なる色数の分布 $P_1,P_2,P_3,P_4$ をすべて数える。各値に確率を掛けて足し、期待値を直接求める。

(1)

全事象は $4^4=256$ 通りである。4色がすべて出る列は $4!=24$ 通りだから$$P_4={\displaystyle \frac{24}{256}}={\displaystyle \frac{3}{32}}\mathrm{.}$$3色だけが出る場合は、使う3色を選び、そのうち1色が2回、残り2色が1回ずつ出る。したがって$$P_3={\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_3\cdot {}_3{\mathrm{C}}_1\cdot {\displaystyle \frac{4!}{2!}}}{256}}={\displaystyle \frac{144}{256}}={\displaystyle \frac{9}{16}}\mathrm{.}$$(2)

同様に$$P_1={\displaystyle \frac{4}{256}}={\displaystyle \frac{1}{64}}$$である。2色だけが出る列は、2色を選び、その両方を少なくとも1回使う列だから$$P_2={\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_2(2^4-2)}{256}}={\displaystyle \frac{21}{64}}\mathrm{.}$$また$$P_3={\displaystyle \frac{36}{64}},P_4={\displaystyle \frac{6}{64}}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{4}k{P}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+2\cdot 21+3\cdot 36+4\cdot 6}{64}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{175}{64}}\mathrm{.}}\end{array}$$