北海道大学 2004年度 前期日程理系数学 第1問

(1) $$\lambda ={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}$$ とおく。すると漸化式は $z_{n+1}=\lambda z_n+1$ である。$z_1=1$ より $$z_2=\lambda +1={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_3}& {\displaystyle =\lambda z_2+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda (1+\lambda )+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\lambda +{\lambda }^2}\end{array}$$である。ここで $$\lambda +{\lambda }^2=i\sqrt{3}$$ だから $z_3=1+i\sqrt{3}$ である。

(2) $$z_{n+1}-\alpha =\lambda (z_n-\alpha )$$ と表せるとすると、$$z_{n+1}=\lambda z_n+(1-\lambda )\alpha$$ である。もとの漸化式 $z_{n+1}=\lambda z_n+1$ と比べると、$(1-\lambda )\alpha =1$ である。したがって $$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{1-\lambda }}$$ である。実際に $$1-\lambda =1-{\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{2}}$$ なので、$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{(1-i\sqrt{3})\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}$$ である。よって $\alpha =\lambda$ である。

(3)
(2) より $$z_{n+1}-\lambda =\lambda (z_n-\lambda )$$ である。したがって $$z_n-\lambda ={\lambda }^{n-1}(z_1-\lambda )$$ である。ここで $$z_1-\lambda =1-\lambda ={\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{2}}={\lambda }^{-1}$$ だから、$$z_n-\lambda ={\lambda }^{n-1}{\lambda }^{-1}={\lambda }^{n-2}$$ である。よって $$z_n=\lambda +{\lambda }^{n-2}$$ であり、すなわち $$z_n={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}+{\left({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}\right)}^{n-2}$$ である。

(4)
求める条件は $$z_n=-{\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{2}}$$ である。右辺は $-{\lambda }^{-1}$ であるから、(3) の式を用いると $$\lambda +{\lambda }^{n-2}=-{\lambda }^{-1}$$ である。したがって $${\lambda }^{n-2}=-(\lambda +{\lambda }^{-1})$$ である。$\lambda =e^{i\pi \mathrm{/}3}$ なので $$\lambda +{\lambda }^{-1}=2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=1$$ である。よって ${\lambda }^{n-2}=-1$ である。 $\lambda$ は偏角 $\pi \mathrm{/}3$ の複素数なので $${\lambda }^3=-1,{\lambda }^6=1$$ である。したがって $n-2\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ であり、$n\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ である。求める自然数は $$n=6m+5(m=0,1,2,\dots )$$ である。

係数を単位複素数 $\lambda$ とおき、漸化式を複素数平面上の回転として読む。中心は固定点の条件で決まり、中心から見た初期ベクトルを毎回60度回すことで一般項と到達時刻を求める。

(1) $$\lambda ={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$とおく。直接代入して$$z_2=1+\lambda ={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,z_3=1+\lambda +{\lambda }^2=1+i\sqrt{3}$$である。

(2)
変換 $z\mapsto \lambda z+1$ の固定点を $\alpha$ とすると、$$\alpha =\lambda \alpha +1.$$したがって$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{1-\lambda }}=\lambda$$である。

(3)
固定点 $\lambda$ を中心に見ると$$z_{n+1}-\lambda =\lambda (z_n-\lambda )\mathrm{.}$$$\mid \lambda \mid =1$、$\arg \lambda =\pi \mathrm{/}3$ なので、中心からのベクトルは1回ごとに $\pi \mathrm{/}3$ 回転する。初期ベクトルは$$z_1-\lambda =1-\lambda ={\lambda }^{-1}$$だから、$$z_n-\lambda ={\lambda }^{n-1}{\lambda }^{-1}={\lambda }^{n-2}\mathrm{.}$$よって$$z_n=\lambda +{\lambda }^{n-2}$$である。

(4)
目標値は $-{\lambda }^{-1}$ なので、$$\lambda +{\lambda }^{n-2}=-{\lambda }^{-1}$$より $${\lambda }^{n-2}=-1={\lambda }^3$$ を得る。${\lambda }^6=1$ だから$$n\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)\mathrm{.}$$したがって$$n=6m+5(m=0,1,2,\dots )$$である。