北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $z=x+yi$ とおく。ただし、もとの式に分母があるので $z\mathrm{\ne }i,z\mathrm{\ne }-i$ である。

まず$${\displaystyle \frac{1}{z+i}}+{\displaystyle \frac{1}{z-i}}={\displaystyle \frac{(z-i)+(z+i)}{(z+i)(z-i)}}={\displaystyle \frac{2z}{z^2+1}}$$である。ここで $$z^2+1=(x+yi{)}^2+1=x^2-y^2+1+2xyi$$ だから、$${\displaystyle \frac{2z}{z^2+1}}={\displaystyle \frac{2(x+yi)}{x^2-y^2+1+2xyi}}$$ である。分母の共役を掛けると、虚部の分子は $$2\{y(x^2-y^2+1)-x(2xy)\}=2y(1-x^2-y^2)$$ である。したがって、この値が実数となる条件は $y(1-x^2-y^2)=0$ である。

よって図形 $P$ は $y=0$ または $x^2+y^2=1$ である。ただし $z=i,-i$ は式が定義されないので、単位円上の点 $(0,1),(0,-1)$ は除く。

(2) $$w={\displaystyle \frac{z+i}{z-i}}$$ を $z$ について解く。$w(z-i)=z+i$ より $z(w-1)=i(w+1)$ であるから、$w\mathrm{\ne }1$ で $$z=i{\displaystyle \frac{w+1}{w-1}}$$ である。

まず、$z$ が実軸上を動く場合を考える。$z$ が実数なら $$w={\displaystyle \frac{z+i}{z-i}}$$ において、分子と分母は互いに共役である。したがって $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ である。逆に $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ かつ $w\mathrm{\ne }1$ なら、$z=i(w+1)\mathrm{/}(w-1)$ は実数になる。よって実軸部分の像は $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1,w\mathrm{\ne }1$ である。

次に、$z$ が単位円 $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ 上を動く場合を考える。$z=i(w+1)\mathrm{/}(w-1)$ を代入すると $$\mid i{\displaystyle \frac{w+1}{w-1}}\mid =1$$ であり、$\mathrm{\mid }i\mathrm{\mid }=1$ だから $\mathrm{\mid }w+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }$ である。これは、$w$ 平面で $-1$ と $1$ から等距離にある点全体なので、虚軸である。$w=X+Yi$ と書けば $X=0$ である。

ただし、(1)で除いた $z=-i$ は $$w={\displaystyle \frac{-i+i}{-i-i}}=0$$ に対応するので、$w=0$ は除く。また $z=i$ はもとの $w$ の分母を0にする点であり、有限な $w$ には対応しない。したがって単位円部分の像は $$\mathrm{Re}w=0,w\mathrm{\ne }0$$ である。

以上より、$w$ の描く図形は $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1(w\mathrm{\ne }1)$ と $$\mathrm{Re}w=0(w\mathrm{\ne }0)$$ の和集合である。

実軸と単位円の像

(1) はもとの式とその共役が等しい条件を整理し、実軸と単位円を得る。(2)では一次分数変換を距離比として読む。実軸上では $z$ から $\pm i$ までの距離が等しいので $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$。単位円上では逆変換を代入して $\mathrm{\mid }w+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }$ を得る。

(1) $${\displaystyle \frac{1}{z+i}}+{\displaystyle \frac{1}{z-i}}={\displaystyle \frac{2z}{z^2+1}}\mathrm{.}$$$z=x+yi$ として、この数がその共役と等しい条件を整理すると$$y(1-x^2-y^2)=0$$となる。したがって$$P:y=0\text{または}{x}^2+y^2=1,$$ただし $z=\pm i$ を除く。

(2) $$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z+i\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$$z$ が実軸上にあれば $\mathrm{\mid }z+i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }$ だから $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ である。ただし有限の $z$ から $w=1$ は得られない。

一方$$z=i{\displaystyle \frac{w+1}{w-1}}$$だから、$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ は$$\mathrm{\mid }w+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }$$と同値である。これは虚軸を表す。除外点 $z=-i$ に対応する $w=0$ も除く。

よって像は$$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1(w\mathrm{\ne }1)\text{と}\mathrm{R}\mathrm{e}w=0(w\mathrm{\ne }0)$$の和集合である。