北海道大学 2004年度 前期日程理系数学 第2問

(1)
成分を計算すると、$$XA-AX=\left(\begin{array}{cc}-bz+cy& -2ay+2bx\\ 2az-2cx& bz-cy\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって $XA-AX=kA$ は$$\begin{array}{cccc}& \{\begin{array}{l}-bz+cy=ka,\\ -2ay+2bx=kb,\\ 2az-2cx=kc\end{array}& & \text{(*)}\end{array}$$と同値である。

$k=0$ とする。第1式から $cy=bz$ である。$bc\mathrm{\ne }0$ なので $y=tb$ とおけば $z=tc$ となる。第2式から $bx=ay=atb$ なので $x=ta$ である。よって$$X=tA$$であり、条件を満たす $X$ は $A$ の実数倍である。

(2)
まず $k\mathrm{\ne }0$ で解 $X$ が存在すると仮定する。式 $(\ast )$ の第1式に $a$、第2式に $c\mathrm{/}2$、第3式に $b\mathrm{/}2$ を掛けて加える。左辺は相殺され、右辺は$$k{a}^2+{\displaystyle \frac{c}{2}}kb+{\displaystyle \frac{b}{2}}kc=k(a^2+bc)$$となる。したがって $k(a^2+bc)=0$ であり、$k\mathrm{\ne }0$ より$$a^2+bc=0.$$一方、$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& 0\\ 0& a^2+bc\end{array}\right)$$だから、これは $A^2=O$ と同値である。

逆に $A^2=O$、すなわち $a^2+bc=0$ とする。$bc\mathrm{\ne }0$ から $a\mathrm{\ne }0$ である。$z=c$ と指定し、第3式へ代入すると$$x=a-{\displaystyle \frac{k}{2}}\mathrm{.}$$これを第2式へ代入して$$y={\displaystyle \frac{b(a-k)}{a}}={\displaystyle \frac{a(k-a)}{c}}$$を得る。よって$$X=\left(\begin{array}{cc}a-{\displaystyle \frac{k}{2}}& {\displaystyle \frac{a(k-a)}{c}}\\ c& -a+{\displaystyle \frac{k}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$$a^2+bc=0$ を用いて第1式も満たすことを確認できる。したがって $A^2=O$ は必要十分条件であり、上の $X$ が指定された解である。