北海道大学 2004年度 前期日程理系数学 第4問

(1)
点 $A(0,a,0)$ から点 $B(1,0,b)$ へ向かう直線上の点は、媒介変数 $t$ を用いて $(1-t)A+tB$ と表される。この点の $x$ 座標は $t$ であるから、求める点 $P$ は $P(t)=(t,a(1-t),bt)$ である。

(2) $x=t$ の位置で、直線 $l$ 上の点 $P(t)$ と $x$ 軸との距離の2乗は $$\{a(1-t){\}}^2+(bt{)}^2=a^2(1-t{)}^2+b^2{t}^2$$ である。直線を $x$ 軸のまわりに回転すると、$x=t$ の断面ではこの距離を半径とする円ができる。 $xy$ 平面との交わりでは $z=0$ であり、点 $(x,y,0)$ が図形 $M$ 上にあるには $y^2=a^2(1-x{)}^2+b^2{x}^2$ を満たせばよい。したがって、求める図形の方程式は $y^2=a^2(1-x{)}^2+b^2{x}^2$ である。

(3) $0\leqq x\leqq 1$ における断面は、半径 $\sqrt{a^2(1-x{)}^2+b^2{x}^2}$ の円である。したがって求める体積 $V$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^1\pi \{a^2(1-x{)}^2+b^2{x}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (a^2{\int }_0^1(1-x{)}^{2}dx+b^2{\int }_0^1{x}^{2}dx)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{a^2}{3}}+{\displaystyle \frac{b^2}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi (a^2+b^2)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$