北海道大学 2004年度 前期日程理系数学 第3問

(1)
求める条件は、すべての $x\geqq 0$ について $e^x-a(x+2b)\geqq 0$ が成り立つことである。$b>0$ なので $x+2b>0$ であり、これは $$a\leqq {\displaystyle \frac{e^x}{x+2b}}(x\geqq 0)$$ と同値である。そこで $$\varphi (x)={\displaystyle \frac{e^x}{x+2b}}$$ とおく。微分すると $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^x(x+2b)-e^x}{(x+2b{)}^2}}={\displaystyle \frac{e^x(x+2b-1)}{(x+2b{)}^2}}$$ である。 $0<b<1\mathrm{/}2$ のとき、$x=1-2b$ は正であり、$\varphi (x)$ は $0\leqq x<1-2b$ で減少し、$x>1-2b$ で増加する。したがって最小値は $$\varphi (1-2b)={\displaystyle \frac{e^{1-2b}}{1}}=e^{1-2b}$$ である。この場合の条件は $1\leqq a\leqq e^{1-2b}$ である。 $b=1\mathrm{/}2$ のとき、${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ で、最小値は $x=0$ における $\varphi (0)=1$ である。したがって $a\geqq 1$ と合わせて $a=1$ である。 $b>1\mathrm{/}2$ のとき、$x+2b-1>0$ が $x\geqq 0$ で成り立つので、$\varphi (x)$ は $x\geqq 0$ で増加する。最小値は $\varphi (0)={\displaystyle \frac{1}{2b}}<1$ である。しかし $a\geqq 1$ なので、$a\leqq 1\mathrm{/}(2b)$ とは両立しない。

以上より、求める条件は $$0<b\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},1\leqq a\leqq e^{1-2b}$$ である。

(2)
まず積分を計算する。$${\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{x+2b}}dx={[\log (x+2b)]}_0^1=\log {\displaystyle \frac{1+2b}{2b}}$$である。したがって考える値は ${\displaystyle \frac{1}{a{e}^b}}\log {\displaystyle \frac{1+2b}{2b}}$ である。

固定した $b$ に対して、$$\log {\displaystyle \frac{1+2b}{2b}}>0$$ であり、値は $a$ が大きいほど小さくなる。(1) より $a$ の最大値は $a=e^{1-2b}$ である。したがって、最小化すべき1変数関数は $$H(b)=e^{b-1}\log {\displaystyle \frac{1+2b}{2b}}(0<b\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。

微分すると $$H^{\mathrm{\prime }}(b)=e^{b-1}\{\log {\displaystyle \frac{1+2b}{2b}}-{\displaystyle \frac{1}{b(1+2b)}}\}$$ である。ここで $$\log {\displaystyle \frac{1+2b}{2b}}=\log (1+{\displaystyle \frac{1}{2b}})<{\displaystyle \frac{1}{2b}}$$ である。また $0<b\leqq 1\mathrm{/}2$ より $${\displaystyle \frac{1}{2b}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{b(1+2b)}}$$ である。したがって $$\log {\displaystyle \frac{1+2b}{2b}}<{\displaystyle \frac{1}{b(1+2b)}}$$ となり、$H^{\mathrm{\prime }}(b)<0$ である。

よって $H(b)$ は $0<b\leqq 1\mathrm{/}2$ で減少する。したがって最小となるのは $b={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときである。このとき $a=e^{1-2b}=1$ であり、最小値は $${\displaystyle \frac{1}{1\cdot e^{1\mathrm{/}2}}}\log {\displaystyle \frac{2}{1}}={\displaystyle \frac{\log 2}{\sqrt{e}}}$$ である。