北海道大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $OA=OB=OC$ であり，$OH$ は平面 $ABC$ に垂直である。したがって，直角三角形 $OHA$，$OHB$，$OHC$ において斜辺がすべて $a$，高さ $OH$ が共通なので $HA=HB=HC$ である。よって $H$ は正三角形 $ABC$ の外心である。

一辺1の正三角形の外接円半径は，高さ ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ の ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ であるから $$AH={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}$$ である。

(2)

三角形 $OHA$ は $H$ で直角である。したがって $O{A}^2=O{H}^2+A{H}^2$ である。$OA=a$，$AH={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ より $O{H}^2=a^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。$a\geqq 1$ なので右辺は正であり，$${\displaystyle OH=\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$$ である。

(3) $$h=OH=\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}}$$ とおく。四面体は底面の正三角形について対称なので，外接球の中心は直線 $OH$ 上にある。球の中心を $K$ とし，$H$ から $O$ 方向への符号付き距離を $HK=s$ とする。

球の半径を $r$ とすると，底面の頂点 $A$ までの距離から $$r^2=K{A}^2=s^2+A{H}^2=s^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。一方，$O$ までの距離から $r^2=K{O}^2=(h-s{)}^2$ である。したがって $$s^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}=h^2-2hs+s^2$$ となり，$2hs=h^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。求める半径は $r=KO=h-s$ なので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r}& {\displaystyle =h-{\displaystyle \frac{h^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}}{2h}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{h^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}}{2h}}}\end{array}$$である。ここで $h^2=a^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ だから $h^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}=a^2$ である。よって $${\displaystyle r={\displaystyle \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}}$$ である。

外接球の中心 $K$ は対称軸 $OH$ 上にあり、断面で $KA=KO$ を解けばよい。