北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

円 $C$ は $x^2+(y-2{)}^2=2$ である。したがって中心は $B=(0,2)$，半径は $\sqrt{2}$ である。
(1)
中心 $(-\sqrt{2}\mathrm{/}2,0)$ の円を $C_1$ とする。この円は $A,O$ を通るので半径は $${\displaystyle \frac{AO}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ である。$C_1$ の中心と $C$ の中心との距離は$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2+2^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}+4}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$$であり，これは半径の和 $${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{2}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$$ に等しい。よって $C_1$ は $C$ に外接する。
次に中心 $(-\sqrt{2}\mathrm{/}2,2)$ の円を $C_2$ とする。この円の半径は $$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2+2^2}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$$ である。$C_2$ の中心と $C$ の中心との距離は $\sqrt{2}\mathrm{/}2$ であり，これは半径の差 $${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}-\sqrt{2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ に等しい。よって $C_2$ は $C$ に内接する。
(2)
点 $A,O,P$ を通る円を $\mathrm{\Gamma }$ とする。$A,O$ を通る円の中心は，線分 $AO$ の垂直二等分線上にあるので $$D=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},s)$$ とおける。半径を $R$ とすると $$R^2={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2+s^2={\displaystyle \frac{1}{2}}+s^2$$ である。 $P$ が円 $C$ 上を動くとき，$\mathrm{\Gamma }$ は $C$ と共有点をもつ。$s$ を動かして共有点をもつ範囲の端では，2円 $\mathrm{\Gamma }$ と $C$ が接する。(1)で示した2つの場合がその端であり，$s=0$ と $s=2$ である。
弦 $AO$ の長さは $\sqrt{2}$ であり，円 $\mathrm{\Gamma }$ の半径が $R$ のとき $$\sin \mathrm{\angle }APO={\displaystyle \frac{AO}{2R}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2R}}$$ である。 $s=0$ のとき $R=\sqrt{2}\mathrm{/}2$ だから $\sin \mathrm{\angle }APO=1$ となり，$\mathrm{\angle }APO={90}^{\circ }$ である。したがって $\cos \mathrm{\angle }APO=0$ である。 $s=2$ のとき $R=3\sqrt{2}\mathrm{/}2$ だから $$\sin \mathrm{\angle }APO={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2\cdot 3\sqrt{2}\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。このとき $\mathrm{\angle }APO$ は鋭角なので $$\cos \mathrm{\angle }APO=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{9}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$ である。
よって最大値は ${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$ であり，最小値は $0$ である。

$C_1$ は $C$ に外接し，$C_2$ は $C$ に内接する。