北海道大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

まず，微分積分学の基本定理より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x\cos x$ である。$e^x>0$ なので，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $\cos x$ の符号で決まる。したがって $0\leqq x\leqq 2\pi$ では $$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{および}{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}<x<2\pi$$ で $f$ は増加し，$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$$ で $f$ は減少する。

よって最大値の候補は $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{または}x=2\pi$$ である。左端 $x=0$ は増加の始点なので最大ではない。

値を比較するために $f(x)$ を求める。部分積分、または右辺を微分して確認することにより$$\int e^t\cos tdt={\displaystyle \frac{e^t(\sin t+\cos t)}{2}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\int }_0^x{e}^t\cos tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{e^t(\sin t+\cos t)}{2}}\right]}_0^x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^x(\sin x+\cos x)-1}{2}}}\end{array}$$である。

よって $$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{2}}$$ であり，$$f(2\pi )={\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{2}}$$ である。明らかに $e^{2\pi }>e^{\pi \mathrm{/}2}$ だから $$f(2\pi )>f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$$ である。

したがって最大値をとるのは $x=2\pi$ であり，最大値は ${\displaystyle {\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{2}}}$ である。