北海道大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
点 $(\alpha t+\beta ,t+\gamma )$ を列ベクトルで表し，行列 $A$ を掛けると$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha t+\beta \\ t+\gamma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(a\alpha +b)t+a\beta +b\gamma \\ (c\alpha +d)t+c\beta +d\gamma \end{array}\right)$$である。
ここで $t$ の係数ベクトル $(a\alpha +b,c\alpha +d)$ が $(0,0)$ なら，像は $t$ によらず1点である。そうでないなら，像は$$\left(\begin{array}{c}a\beta +b\gamma \\ c\beta +d\gamma \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}a\alpha +b\\ c\alpha +d\end{array}\right)$$と表されるので，1つの直線上を動く。よって像の軌跡は，ある1点またはある1つの直線である。
(2)
直線 $x=1$ 上の点を $(1,t)$ とおく。この点の像は$$A\left(\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+bt\\ c+dt\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$である。異なる2点が異なる2点に移るので，方向ベクトル $(b,d)$ は零ベクトルではない。
ここで，もし $A$ が逆行列をもたないと仮定する。このとき $ad-bc=0$ である。$(b,d)\mathrm{\ne }(0,0)$ だから，列ベクトル $(a,c)$ は $(b,d)$ の実数倍である。すなわち，ある実数 $\lambda$ を用いて $(a,c)=\lambda (b,d)$ と書ける。
すると直線 $x=1$ の像は $$(a,c)+t(b,d)=(\lambda +t)(b,d)$$ で表される。$t=-\lambda$ とすれば像は原点になるので，この像の直線は原点を通る。これは，像が原点を通らない直線上の異なる2点に移るという仮定に反する。
したがって $A$ は逆行列をもつ。

異なる像を含む直線が原点を避けるなら，2列ベクトルは独立である。

行列を線形写像として扱う。(1)は直線の方向ベクトルの像が零かどうかで点・直線を判定する。(2)は背理法で，特異なら像空間が1次元以下となり，異なる像を含む直線は必ず原点を通ることを使う。

(1) 元の点を$$\mathit{p}(t)=\left(\begin{array}{c}\beta \\ \gamma \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}\alpha \\ 1\end{array}\right)$$と書く。線形性から$$A\mathit{p}(t)=A\left(\begin{array}{c}\beta \\ \gamma \end{array}\right)+tA\left(\begin{array}{c}\alpha \\ 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$方向ベクトル $A(\alpha ,1{)}^T$ が零なら像は1点であり，零でなければ像はその方向をもつ1直線である。
(2) $x=1$ 上の点は$${\mathit{e}}_1+t{\mathit{e}}_2$$と書け，その像は$$A{\mathit{e}}_1+tA{\mathit{e}}_2$$である。異なる2点の像が異なるので$$A{\mathit{e}}_2\mathrm{\ne }\mathbf{0}\mathrm{.}$$もし $A$ が逆行列をもたなければ，像空間の次元は1以下である。上式から像空間は $A{\mathit{e}}_2$ を含むので1次元であり，ある実数 $\lambda$ により$$A{\mathit{e}}_1=\lambda A{\mathit{e}}_2$$と書ける。すると$$A{\mathit{e}}_1+tA{\mathit{e}}_2=(\lambda +t)A{\mathit{e}}_2$$だから，$t=-\lambda$ で原点を通る。これは像の2点が原点を通らない直線上にあるという仮定に反する。よって $A$ は逆行列をもつ。