北海道大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $n\geqq 2$ なので $n\mathrm{\ne }1$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a)}& {\displaystyle ={\int }_1^a{x}^{-n}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{x^{1-n}}{1-n}}\right]}_1^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-a^{1-n}}{n-1}}}\end{array}$$である。

また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(b)}& {\displaystyle ={\int }_b^1{x}^{-n}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{x^{1-n}}{1-n}}\right]}_b^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b^{1-n}-1}{n-1}}}\end{array}$$である。

ここで $n>1$ なので $$a^{1-n}\to 0(a\to \mathrm{\infty })$$ である。よって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a)}{g(b)}}={\displaystyle \frac{1}{b^{1-n}-1}}$$である。これが1より小さいためには $${\displaystyle \frac{1}{b^{1-n}-1}}<1$$ である。分母は正なので，これは $b^{1-n}-1>1$ すなわち $b^{1-n}>2$ と同値である。 $0<b<1$ より $1\mathrm{/}b>1$ であり，$$b^{1-n}={\left({\displaystyle \frac{1}{b}}\right)}^{n-1}$$ である。したがって $$(n-1)\log {\displaystyle \frac{1}{b}}>\log 2$$ となる。$\log {\displaystyle \frac{1}{b}}>0$ だから $${\displaystyle n>1+{\displaystyle \frac{\log 2}{\log (1\mathrm{/}b)}}}$$ である。

(2)

上で得た式を用いると$${\displaystyle \frac{f(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}{g(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}}={\displaystyle \frac{1-(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^{1-n}}{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^{1-n}-1}}$$である。

まず$$(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^{1-n}=(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}){(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{-n}\to 1\cdot e^{-1}=e^{-1}$$である。また$$(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^{1-n}=(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}){(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{-n}\to 1\cdot e=e$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}{g(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-e^{-1}}{e-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(e-1)\mathrm{/}e}{e-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{e}}}}\end{array}$$である。

同じ曲線 $x^{-n}$ の、$1$ の左側と右側の面積を明示式にして比較する。