北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

積和公式より $$\cos mx\cos nx={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x\}$$ である。また，整数 $k$ について$${\int }_0^{2\pi }\cos kxdx=\{\begin{array}{ll}2\pi & (k=0),\\ 0& (k\mathrm{\ne }0)\end{array}$$である。

したがって$$I_{m,n}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{2\pi }\cos (m+n)xdx+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{2\pi }\cos (m-n)xdx$$である。ここから，$m=n=0$ のときは両方の積分が $2\pi$ なので $I_{0,0}=2\pi$ である。 $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ のときは，$m-n=0$ または $m+n=0$ のどちらか一方だけが成り立つので $I_{m,n}=\pi$ である。それ以外，すなわち $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }$ のときは両方とも0になるので $I_{m,n}=0$ である。

よって$${\displaystyle I_{m,n}=\{\begin{array}{ll}2\pi & (m=n=0),\\ \pi & (\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0),\\ 0& (\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid })\end{array}}$$である。

(2)

平方を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J_n}& {\displaystyle ={\int }_0^{2\pi }{(\sum _{k=1}^n\sqrt{k}\cos kx)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n\sqrt{k}\sqrt{l}{\int }_0^{2\pi }\cos kx\cos lxdx}\end{array}$$である。

ここで $k,l$ は1以上なので，(1)より$${\int }_0^{2\pi }\cos kx\cos lxdx=\{\begin{array}{ll}\pi & (k=l),\\ 0& (k\mathrm{\ne }l)\end{array}$$である。

したがって対角項だけが残り、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}k\pi }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi n(n+1)}{2}}}\end{array}$$である。

二重和のうち青い対角成分だけが残る。