北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

双曲線の焦点は $x$ 軸上の原点でない2点である。焦点が一致するなら楕円の長軸も $x$ 軸だから $\alpha >\beta$ である。
楕円 $C_1$ の焦点距離の2乗は ${\alpha }^2-{\beta }^2$ であり，双曲線 $C_2$ の焦点距離の2乗は $a^2+b^2$ である。焦点が一致しているので $${\alpha }^2-{\beta }^2=a^2+b^2$$ である。
交点を $(x,y)$ とする。まず，$y=0$ とすると楕円から $x^2={\alpha }^2$，双曲線から $x^2=a^2$ となるが，焦点一致条件と $\beta ,b>0$ により同時には成り立たない。したがって交点では $y\mathrm{\ne }0$ である。
楕円を微分すると $${\displaystyle \frac{2x}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{2y}{{\beta }^2}}{y}^{\mathrm{\prime }}=0$$ より，楕円の接線の傾きは $$y_1^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{{\beta }^{2}x}{{\alpha }^{2}y}}$$ である。双曲線を微分すると $${\displaystyle \frac{2x}{a^2}}-{\displaystyle \frac{2y}{b^2}}{y}^{\mathrm{\prime }}=0$$ より，双曲線の接線の傾きは $$y_2^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{b^{2}x}{a^{2}y}}$$ である。
したがって $$y_1^{\mathrm{\prime }}{y}_2^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{{\beta }^2{b}^2{x}^2}{{\alpha }^2{a}^2{y}^2}}$$ である。これが $-1$ になることを示せばよい。
交点条件は$${\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{{\beta }^2}}=1,{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$である。これらから $x^2,y^2$ を消去して求める。第1式より $$y^2={\beta }^2(1-{\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}})$$ を第2式に代入すると$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{b^2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}})=1$$である。整理すると$$x^2({\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{{\alpha }^2{b}^2}})=1+{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{b^2}}$$となり，焦点一致条件 $${\alpha }^2-{\beta }^2=a^2+b^2$$ を用いると $$x^2={\displaystyle \frac{{\alpha }^2{a}^2}{{\alpha }^2-{\beta }^2}}$$ を得る。さらに双曲線の式から$$y^2=b^2({\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-1)=b^2({\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{{\alpha }^2-{\beta }^2}}-1)={\displaystyle \frac{{\beta }^2{b}^2}{{\alpha }^2-{\beta }^2}}$$である。
よって $${\displaystyle \frac{{\beta }^2{b}^2{x}^2}{{\alpha }^2{a}^2{y}^2}}=1$$ であり，$y_1^{\mathrm{\prime }}{y}_2^{\mathrm{\prime }}=-1$ となる。したがって2つの接線は直交する。

$$\alpha =\sqrt{5},\beta =1,a=b=\sqrt{2}$$ の例。2本の接線の傾きの積は $-1$。