北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $X(a)$ は $$(x-a{)}^2+y^2\leqq {\displaystyle \frac{(a+1{)}^2}{4}}$$ で表される円板であり，中心は $(a,0)$，半径は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a+1\mathrm{\mid }}{2}}$ である。

直線 $L:y=x-1$ は $x-y-1=0$ と書ける。中心 $(a,0)$ からこの直線までの距離は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}$ である。円板と直線が共有点をもたないためには，この距離が半径より大きければよい。よって $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a+1\mathrm{\mid }}{2}}$$ が必要十分である。

両辺はともに $0$ 以上なので，2乗して $2(a-1{)}^2>(a+1{)}^2$ を得る。整理すると $2(a^2-2a+1)>a^2+2a+1$ すなわち $a^2-6a+1>0$ である。左辺の零点は $a=3\pm 2\sqrt{2}$ だから，求める範囲は $$a<3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2}<a$$ である。

(2)
点 $P=(x,y)$ がどの $X(a)$ にも入らない条件は，すべての実数 $a$ について $$(x-a{)}^2+y^2>{\displaystyle \frac{(a+1{)}^2}{4}}$$ が成り立つことである。両辺を4倍して左辺に集めると $$4\{(x-a{)}^2+y^2\}-(a+1{)}^2>0$$ であり，これは $$3a^2-(8x+2)a+4x^2+4y^2-1>0$$ となる。

ここで $a$ についての二次式 $$F(a)=3a^2-(8x+2)a+4x^2+4y^2-1$$ を考える。係数 $3$ は正であるから，$F(a)>0$ がすべての実数 $a$ で成り立つためには，判別式が負であればよい。判別式を $D$ とすると $$D=(8x+2{)}^2-12(4x^2+4y^2-1)$$ であり，整理して $D=16\{(x+1{)}^2-3y^2\}$ となる。

したがって条件は $(x+1{)}^2-3y^2<0$ すなわち $(x+1{)}^2<3y^2$ である。これは $$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }>{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}}$$ と同値であるから，2直線 $$y={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{3}}},y=-{\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{3}}}$$ を境界とし，その上側と下側に開く2つの領域である。境界上ではある $a$ に対して円板に接するため，境界は含まない。

境界の2直線は含まない。青い上下2領域が、どの円板 $X(a)$ にも入らない点の集合である。