北海道大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

直線$l$の傾きを$m$とする。傾きは正なので$m>0$である。$l$は$C(-c,0)$を通るから $l:y=m(x+c)$ と書ける。すなわち $mx-y+mc=0$ である。

この直線が原点中心，半径1の円$S$に接するためには，原点から直線$l$までの距離が1であればよい。したがって $${\displaystyle \frac{mc}{\sqrt{m^2+1}}}=1$$ である。両辺を2乗して $m^2{c}^2=m^2+1$ より $m^2(c^2-1)=1$ である。$m>0$だから $$m={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{c^2-1}}}$$ である。よって $$l:y={\displaystyle \frac{x+c}{\sqrt{c^2-1}}}$$ である。

接点$A$は原点から$l$へ下ろした垂線の足である。$$s=\sqrt{c^2-1}$$とおくと，$m=1\mathrm{/}s$である。直線 $mx-y+mc=0$ への原点からの垂線の足は $(-{\displaystyle \frac{m^{2}c}{m^2+1}},{\displaystyle \frac{mc}{m^2+1}})$ である。ここで$m^2+1=c^2\mathrm{/}{s}^2$なので $$A=(-{\displaystyle \frac{1}{c}},{\displaystyle \frac{s}{c}})$$ となる。したがって $A(-{\displaystyle \frac{1}{c}},{\displaystyle \frac{\sqrt{c^2-1}}{c}})$ である。

(2)

図は $c=2$ の模式図。後半も「原点から接線までの距離が1」を使う。

(2)

以後も$$s=\sqrt{c^2-1}$$とおく。点$P$は$l$上で$x=p$の点だから $P(p,{\displaystyle \frac{p+c}{s}})$ である。これを$x$軸に関して対称移動した点は $Q(p,-{\displaystyle \frac{p+c}{s}})$ である。

$l$の傾きは$1\mathrm{/}s$なので，$l$と直交する直線の傾きは$-s$である。$Q$を通り傾き$-s$の直線は $$y+{\displaystyle \frac{p+c}{s}}=-s(x-p)$$ である。整理すると $$sx+y+{\displaystyle \frac{p+c}{s}}-sp=0$$ である。

この直線が円$S$に接するためには，原点からこの直線までの距離が1であればよい。よって $${\displaystyle \frac{\mid {\displaystyle \frac{p+c}{s}}-sp\mid }{\sqrt{s^2+1}}}=1$$ である。$s^2+1=c^2$なので $$\mid {\displaystyle \frac{p+c}{s}}-sp\mid =c$$ である。両辺に$s$を掛けると $\mathrm{\mid }p+c-s^{2}p\mathrm{\mid }=cs$ である。$s^2=c^2-1$より $\mathrm{\mid }c-(c^2-2)p\mathrm{\mid }=cs$ となる。

ここで$c>\sqrt{2}$だから$c^2-2>0$である。絶対値を外すと $c-(c^2-2)p=cs$ または $c-(c^2-2)p=-cs$ である。前者からは $$p={\displaystyle \frac{c(1-s)}{c^2-2}}<0$$ となり，$p>1$に反する。したがって後者を採用して $$p={\displaystyle \frac{c(1+s)}{c^2-2}}$$ である。すなわち $$p={\displaystyle \frac{c(1+\sqrt{c^2-1})}{c^2-2}}$$ である。なお，$c^2-2=s^2-1=(s-1)(s+1)$なので，これは$p=c\mathrm{/}(s-1)>1$を満たす。