北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 理系理系数学 第4問

(1)

$Q$ は $\mathrm{△}OAP$ の外心であり、まず $x=a\mathrm{/}2$ が決まる。

(1)

$OQ=AQ$より，点$Q$は線分$OA$の垂直二等分線上にある。$O=(0,0)$，$A=(a,0)$だから $$x={\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。

また，$OQ=PQ$より $$x^2+y^2=(x-\cos \theta {)}^2+(y-\sin \theta {)}^2$$ である。展開して整理すると $$2x\cos \theta +2y\sin \theta =1$$ すなわち $$x\cos \theta +y\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。ここに$x=a\mathrm{/}2$を代入して $${\displaystyle \frac{a}{2}}\cos \theta +y\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ となる。$0<\theta <\pi$より$\sin \theta >0$なので，$$y={\displaystyle \frac{1-a\cos \theta }{2\sin \theta }}$$ である。したがって $Q({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{1-a\cos \theta }{2\sin \theta }})$ である。

(2)

$a$を固定し，$$y(\theta )={\displaystyle \frac{1-a\cos \theta }{2\sin \theta }}$$ とおく。$0<\theta <\pi$では$\sin \theta >0$である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}(\theta )}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a{\sin }^2\theta -2(1-a\cos \theta )\cos \theta }{4{\sin }^2\theta }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )-\cos \theta }{2{\sin }^2\theta }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a-\cos \theta }{2{\sin }^2\theta }}}\end{array}$$である。

分母は正なので，$y^{\mathrm{\prime }}(\theta )$の符号は$a-\cos \theta$の符号で決まる。$0<a<1$だから，$\cos \theta =a$ を満たす$\theta$が$0<\theta <\pi$にただ一つ存在する。この値より前では$\cos \theta >a$なので$y^{\mathrm{\prime }}<0$，後では$\cos \theta <a$なので$y^{\mathrm{\prime }}>0$である。したがって，この点で$y$は最小になる。

$\cos \theta =a$のとき，$0<\theta <\pi$より $$\sin \theta =\sqrt{1-a^2}$$ である。よって最小値は $$y_{\min }={\displaystyle \frac{1-a^2}{2\sqrt{1-a^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1-a^2}}{2}}$$ である。

(1) は外心の条件から解法1と同様に座標を求める。(2)では微分せず、求めた $y$ と候補 $\sqrt{1-a^2}\mathrm{/}2$ の差を直接平方の形にする。分母が正であることを確認し、等号条件 $\cos \theta =a$ が指定範囲に存在することまで調べる。

(1)

$OQ=AQ$ から $x=a\mathrm{/}2$ である。また $OQ=PQ$ を2乗して整理すると$$x\cos \theta +y\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$となる。したがって$$Q({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{1-a\cos \theta }{2\sin \theta }})$$である。

(2)

$0<\theta <\pi$ より $\sin \theta >0$ である。そこで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y^2-{\displaystyle \frac{1-a^2}{4}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(1-a\cos \theta {)}^2-(1-a^2){\sin }^2\theta }{4{\sin }^2\theta }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\cos \theta -a{)}^2}{4{\sin }^2\theta }}\geqq 0.}\end{array}$$また $0<a<1$ なので、$0<\theta <\pi$ の範囲に $\cos \theta =a$ を満たす $\theta$ が存在し、そのとき等号が成り立つ。さらに $y>0$ だから$$y\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{1-a^2}}{2}}\mathrm{.}$$よって最小値は$${\displaystyle \frac{\sqrt{1-a^2}}{2}}$$である。