北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

最大となる $t=1\mathrm{/}3$ の配置。面積は2本のベクトルの行列式で一度に扱える。

(1)

点$P$を基準にすると $$\overrightarrow{PQ}=(t,1-4t^2),\overrightarrow{PR}=(-2t,1-t^2)$$ である。3点$P,Q,R$が一直線上にあるための条件は，この2つのベクトルの作る平行四辺形の面積が0になること，すなわち$$\mid \begin{array}{cc}t& 1-4t^2\\ -2t& 1-t^2\end{array}\mid =0$$である。左辺を計算すると $$t(1-t^2)-(-2t)(1-4t^2)=3t-9t^3=3t(1-3t^2)$$ である。$t>0$より $1-3t^2=0$ となり，$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。

(2)

(1) より $t_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。$0<t<t_0$では$1-3t^2>0$なので，三角形$PQR$の面積は $$S(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3t(1-3t^2)={\displaystyle \frac{3}{2}}t(1-3t^2)$$ である。

導関数は $S^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{3}{2}}(1-9t^2)$ である。$0<t<1\mathrm{/}\sqrt{3}$において，$S^{\mathrm{\prime }}(t)=0$となるのは $t={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。また，$0<t<1\mathrm{/}3$では$S^{\mathrm{\prime }}(t)>0$，$1\mathrm{/}3<t<1\mathrm{/}\sqrt{3}$では$S^{\mathrm{\prime }}(t)<0$である。したがって$S(t)$は$t=1\mathrm{/}3$で最大となる。このとき$$S\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}(1-3\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。よって $$t={\displaystyle \frac{1}{3}},S(t{)}_{\max }={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。