北海道大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $h(x)=x\cos x+\sin x$ とおく。

まず $0<x<\pi \mathrm{/}2$ では $x>0$，$\cos x>0$，$\sin x>0$ であるから $h(x)>0$ である。したがってこの範囲には解はない。

次に $\pi \mathrm{/}2<x<\pi$ を考える。この範囲では $\cos x<0$ なので，方程式 $x\cos x+\sin x=0$ は $\cos x$ で割って $x+\tan x=0$ と同値である。 $\phi (x)=x+\tan x$ とおくと $${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}>0$$ であるから，$\phi (x)$ は $(\pi \mathrm{/}2,\pi )$ で単調に増加する。また$$\underset{x\to \pi \mathrm{/}2+0}{\lim }\phi (x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \pi -0}{\lim }\phi (x)=\pi >0$$である。したがって $\phi (x)=0$，すなわち $x\cos x+\sin x=0$ は $0<x<\pi$ でただ1つの解をもつ。

$Q=(a,\sin a)$ を固定し、$P$ を曲線上で動かす。面積は折れ線下の3つの台形の和で表せる。

(2)
(1)の解を $a$ とする。上の議論より $${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<a<\pi$$ である。 $P=(x_1,\sin x_1)$，$Q=(a,\sin a)$ とする。$0<x_1<a<\pi$ であり，四角形 $OPQE$ は $x$ 軸上の $[0,\pi ]$ を底とし，上側が折れ線 $O\to P\to Q\to E$ になっている。したがって面積は3つの台形または三角形に分けて$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_1\sin x_1+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a-x_1)(\sin x_1+\sin a)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(\pi -a)\sin a$$である。整理すると $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\{a\sin x_1+(\pi -x_1)\sin a\}$$ となる。

これを $x_1$ で微分すると $${\displaystyle \frac{dS}{d{x}_1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{a\cos x_1-\sin a\}$$ である。$a$ は $a\cos a+\sin a=0$ を満たすので $${\displaystyle \frac{\sin a}{a}}=-\cos a$$ である。また $\cos (\pi -a)=-\cos a$ だから $${\displaystyle \frac{\sin a}{a}}=\cos (\pi -a)$$ である。

よって $dS\mathrm{/}d{x}_1=0$ となる点は $\cos x_1=\cos (\pi -a)$ を満たす。$0<x_1<a$ で，しかも $0<\pi -a<\pi \mathrm{/}2<a$ だから $x_1=\pi -a$ がただ1つの臨界点である。

さらに $${\displaystyle \frac{d^{2}S}{d{x}_1^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}a\sin x_1<0$$ であるから，この点で $S$ は最大となる。最大値は $$S_a={\displaystyle \frac{1}{2}}\{a\sin (\pi -a)+(\pi -(\pi -a))\sin a\}$$ である。$\sin (\pi -a)=\sin a$ より $$S_a={\displaystyle \frac{1}{2}}(a\sin a+a\sin a)=a\sin a$$ である。

したがって $$x_1=\pi -a,S_a=a\sin a$$ である。

四角形を固定された三角形 $OQE$ と三角形 $OPQ$ に分ける。前者の面積は一定なので、後者の面積を最大にすればよい。底辺 $OQ$ を固定した三角形の面積が最大となる点では、曲線の接線が $OQ$ と平行になる。

(1) $${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<\pi$$ では、方程式は$$\tan x=-x$$と同値である。左辺 $\tan x$ は $-\mathrm{\infty }$ から0まで単調増加し、右辺 $-x$ は単調減少するので、交点は高々1つである。また$$\underset{x\to \pi \mathrm{/}2+0}{\lim }(\tan x+x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \pi -0}{\lim }(\tan x+x)=\pi >0$$だから、中間値の定理により交点は実際に1つ存在する。$0<x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $x\cos x+\sin x>0$ なので、全体でも解はただ1つである。

(2)

$Q=(a,\sin a)$ と $E=(\pi ,0)$ は固定されている。四角形 $OPQE$ は、固定された三角形 $OQE$ と三角形 $OPQ$ の和である。したがって、$S$ を最大にするには、底辺 $OQ$ が固定された三角形 $OPQ$ の面積を最大にすればよい。

点 $P$ が曲線 $y=\sin x$ 上を動くとき、直線 $OQ$ から $P$ までの距離が極大となる点では、$P$ における接線が $OQ$ と平行になる。直線 $OQ$ の傾きは$${\displaystyle \frac{\sin a}{a}}$$であり、$P$ における接線の傾きは $\cos x_1$ である。よって極大条件は$$\cos x_1={\displaystyle \frac{\sin a}{a}}$$である。

$a\cos a+\sin a=0$ より$${\displaystyle \frac{\sin a}{a}}=-\cos a=\cos (\pi -a)$$である。また $\pi \mathrm{/}2<a<\pi$ なので $0<\pi -a<a$ であり、$0<x_1<a$ における解は$$x_1=\pi -a$$だけである。曲線 $y=\sin x$ は $0<x<\pi$ で上に凸なので、この点で距離、したがって面積は最大になる。

面積は$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\{a\sin x_1+(\pi -x_1)\sin a\}$$だから、$x_1=\pi -a$ を代入して$$S_a={\displaystyle \frac{1}{2}}\{a\sin (\pi -a)+a\sin a\}=a\sin a$$を得る。