北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $f(x)=4x^3-12x^2+9x$ を微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-24x+9=3(2x-1)(2x-3)$$ である。したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0(x<{\displaystyle \frac{1}{2}},x>{\displaystyle \frac{3}{2}}),f^{\mathrm{\prime }}(x)<0({\displaystyle \frac{1}{2}}<x<{\displaystyle \frac{3}{2}})$$である。

よって $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ で極大，$x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ で極小をとる。値は $$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}-12\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+9\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=2$$ であり，$$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=4\cdot {\displaystyle \frac{27}{8}}-12\cdot {\displaystyle \frac{9}{4}}+9\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=0$$である。

したがってグラフは，左から増加して点 $({\displaystyle \frac{1}{2}},2)$ で極大となり，その後減少して点 $({\displaystyle \frac{3}{2}},0)$ で極小となり，さらに増加する3次関数のグラフである。また $f(0)=0,f(1)=1$ も通る。

(2)

方程式 $(\ast )$ は $f(x)=p$ と同値である。区間 $0\leqq x\leqq 1$ だけを考えると，$f(x)$ は $[0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]\text{ で }0\text{ から }2\text{ まで増加し，}$ $[{\displaystyle \frac{1}{2}},1]\text{ で }2\text{ から }1\text{ まで減少する。}$ したがって水平線 $y=p$ との交点数を分類すると，$$p<0\text{ では }0\text{ 個},$$ $$p=0\text{ では }x=0\text{ の1個},$$ $$0<p<1\text{ では }[0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]\text{ 上に1個},$$ $$p=1\text{ では }[0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]\text{ 上の1個と }x=1\text{ の合計2個},$$ $$1<p<2\text{ では左右の枝に1個ずつ，合計2個},$$ $$p=2\text{ では }x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ の1個},$$ $$p>2\text{ では }0\text{ 個}$$ である。

よって，$0\leqq x\leqq 1$ の範囲にある実数解がただ1つであるための条件は $$0\leqq p<1\text{または}p=2$$ である。

水平線 $y=p$ と太線上の曲線との交点数を、$p=0,1,2$ で区切って数える。