北海道大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$X=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ w& z\end{array}\right)$$とおく。積を順に展開すると$$AX=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}u& v\\ w& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}u+aw& v+az\\ 2w& 2z\end{array}\right)$$であり，$$XA=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ w& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}u& au+2v\\ w& aw+2z\end{array}\right)$$である。したがって$$AX-XA=\left(\begin{array}{cc}aw& az-au-v\\ w& -aw\end{array}\right)$$である。

これが零行列であるから $w=0,v=a(z-u)$ である。よって$$X=\left(\begin{array}{cc}u& a(z-u)\\ 0& z\end{array}\right)$$と書ける。

ここで $t=z-u,s=2u-z$ とおくと$$sE+tA=s\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}s+t& ta\\ 0& s+2t\end{array}\right)$$である。上の $s,t$ を代入すると $s+t=(2u-z)+(z-u)=u,$ $ta=a(z-u),$ $s+2t=(2u-z)+2(z-u)=z$ だから $sE+tA=X$ である。よって示された。

(2) $$Y=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ w& z\end{array}\right)$$とおく。$AY$ と $kYA$ の各成分を比較すると $AY-kYA=O$ は次の4本の式と同値である。 $(1-k)u+aw=0,$ $(1-2k)v+az-kau=0,$ $(2-k)w=0,$ $-kaw+2(1-k)z=0.$ まず $k=2$ とする。このとき第1式から $-u+aw=0$ なので $u=aw$ である。また第4式から $-2aw-2z=0$ なので $z=-aw$ である。第2式は $-3v+az-2au=0$ であり，上の $u,z$ を代入すると $-3v-a^{2}w-2a^{2}w=0$ だから $v=-a^{2}w$ である。したがって$$Y=w\left(\begin{array}{cc}a& -a^2\\ 1& -a\end{array}\right)$$である。$Y\mathrm{\ne }O$ であるためには $w\mathrm{\ne }0$ が必要であり，このとき確かに非零行列になる。

次に $k\mathrm{\ne }2$ とする。第3式より $w=0$ である。問題文より $k\mathrm{\ne }1$ でもあるから，第1式と第4式から $u=0,z=0$ である。すると第2式は $(1-2k)v=0$ となる。非零行列 $Y$ を得るには $v\mathrm{\ne }0$ でなければならないので $1-2k=0$ すなわち $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。このとき$$Y=\left(\begin{array}{cc}0& v\\ 0& 0\end{array}\right)(v\mathrm{\ne }0)$$がすべての解である。

以上より，求める組は$$k=2,Y=w\left(\begin{array}{cc}a& -a^2\\ 1& -a\end{array}\right)(w\mathrm{\ne }0)$$または$$k={\displaystyle \frac{1}{2}},Y=\left(\begin{array}{cc}0& v\\ 0& 0\end{array}\right)(v\mathrm{\ne }0)$$である。