北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

放物線$C:y=x^2\mathrm{/}4$の導関数は $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x}{2}}$$ である。したがって，$x=t$における接線$l_2$は $$y-{\displaystyle \frac{t^2}{4}}={\displaystyle \frac{t}{2}}(x-t)$$ すなわち $$l_2:y={\displaystyle \frac{t}{2}}x-{\displaystyle \frac{t^2}{4}}$$ である。

(1)

どの $l_3$ も $(0,1)$ を通り、$t=2$ では弦が水平になる。

(1)

$l_2$の方向ベクトルとして$(2,t)$をとることができる。また，$l_1$は縦線なので方向ベクトルは$(0,1)$である。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$より$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{(2,t)\cdot (0,1)}{\sqrt{2^2+t^2}\cdot 1}}={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{t^2+4}}}$$である。

(2)

$l_2$の方向ベクトルを$\mathbf{u}=(2,t)$，$l_1$の方向ベクトルを$\mathbf{v}=(0,1)$とする。$\mathbf{v}$を$\mathbf{u}$の方向に関して対称移動したベクトルは$$2{\displaystyle \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}}\mathbf{u}-\mathbf{v}$$である。ここで $$\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}=t,\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=t^2+4$$ だから，反射後の方向ベクトルは$$2{\displaystyle \frac{t}{t^2+4}}(2,t)-(0,1)=({\displaystyle \frac{4t}{t^2+4}},{\displaystyle \frac{t^2-4}{t^2+4}})$$である。したがって$l_3$の傾きは $${\displaystyle \frac{(t^2-4)\mathrm{/}(t^2+4)}{4t\mathrm{/}(t^2+4)}}={\displaystyle \frac{t^2-4}{4t}}$$ である。

$l_1$と$l_2$の交点 $(t,{\displaystyle \frac{t^2}{4}})$ は，$l_2$上の点なので対称移動しても動かない。よって$l_3$はこの点を通り，$$y-{\displaystyle \frac{t^2}{4}}={\displaystyle \frac{t^2-4}{4t}}(x-t)$$ である。整理して $$l_3:y={\displaystyle \frac{t^2-4}{4t}}x+1$$ を得る。

接線 $l_2$ の方向角を $\phi$ と置き、直線の鏡映で方向角が $2\phi -\pi \mathrm{/}2$ になることを使う。倍角公式から反射後の傾きを求め、鏡映で動かない接点を通す。成分による反射公式を使わずに $l_3$ を得る方法である。

(2) の別解

$l_2$が$x$軸の正の向きとなす角を$\phi$とすると，$\tan \phi =t\mathrm{/}2$である。縦線の方向角$\pi \mathrm{/}2$を直線$l_2$に関して反射すると，反射後の方向角は$2\phi -\pi \mathrm{/}2$である。したがって$l_3$の傾きは$$\tan (2\phi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2\phi }}=-{\displaystyle \frac{1-(t\mathrm{/}2{)}^2}{2(t\mathrm{/}2)}}={\displaystyle \frac{t^2-4}{4t}}$$となり，同じ方程式が得られる。

(3)

(2) で得た式 $$l_3:y={\displaystyle \frac{t^2-4}{4t}}x+1$$ に$x=0$を代入すると，常に$y=1$である。したがって$l_3$は$t$によらず定点 $(0,1)$ を通る。

(4)

$l_3$と$C$の交点の$x$座標は $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}={\displaystyle \frac{t^2-4}{4t}}x+1$$ を満たす。両辺を4倍して $$x^2-(t-{\displaystyle \frac{4}{t}})x-4=0$$ である。この2つの根を$x_1,x_2$とすると，根の差は$$\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }=\sqrt{{(t-{\displaystyle \frac{4}{t}})}^2+16}=\sqrt{{(t+{\displaystyle \frac{4}{t}})}^2}=t+{\displaystyle \frac{4}{t}}$$である。

$l_3$の傾きを$m$とすると，交点間の距離は $$PQ=\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }\sqrt{1+m^2}$$ である。ここで $$m={\displaystyle \frac{t^2-4}{4t}}$$ だから $$\sqrt{1+m^2}=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{(t^2-4{)}^2}{16t^2}}}={\displaystyle \frac{t^2+4}{4t}}$$ である。よって$$PQ=(t+{\displaystyle \frac{4}{t}}){\displaystyle \frac{t^2+4}{4t}}={\displaystyle \frac{(t^2+4{)}^2}{4t^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}{(t+{\displaystyle \frac{4}{t}})}^2$$である。

$t>0$において $$t+{\displaystyle \frac{4}{t}}\geqq 2\sqrt{t\cdot {\displaystyle \frac{4}{t}}}=4$$ であり，等号は$t=2$のとき成り立つ。したがって$PQ$が最小になるのは $t=2$ のときである。