Evolton
方針
三角形の面積は と の成分から と出す。確率は の順序つき 通りを等確率として数える。(2)は を ごとに解き，(3)は を満たす組を で表にして漏れなく数える。
解答
(1) であるから である。2つのベクトル ， が作る三角形の面積は であるから である。したがって である。
図は一例。面積は と の行列式の絶対値で求める。
(2)
各試行では がそれぞれ のいずれかになり，全体は 通りである。 となる条件は である。これは と書ける。 のときは となり不適である。 のときは なので の2通りである。 のときは なので の1通りである。 のときは なので の1通りである。
したがって条件を満たす組は4通りであり，求める確率は である。
(3)
(1)より は と同値である。ここで とおく。
まず となる可能性を確認する。， より である。 だから右辺の最小値は のときの であり， は起こらない。したがって だけを数えればよい。 では なので該当なし。 では なので該当なし。 では である。 には が必要で，そのとき より だけである。したがって が1通りである。 では である。 のとき より が可能である。 では最大でも なので不可能である。したがって の2通りである。
合計で3通りだから，求める確率は である。
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総評
難度は10段階中5、計算量は10段階中4。試験場での目安は18分で、面積公式を出した後の数え上げを丁寧にできるかが問われる。採点点は、面積に絶対値が必要であること、全体を順序つきの64通りとして数えること、(3)で負の大きな値が出ないことを確認してから を数えることにある。条件を満たす組をただ列挙するだけだと漏れの確認が弱いので、 ごとの場合分けを答案に残すと安全である。