北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

2本の当たりくじが、102本のうちどの2つの位置にあるかで考える。位置の組は$$\frac{102\cdot 101}{2}=5151$$通りで、いずれも同様に確からしい。

最初の当たりが $n$ 番目であるとき、もう1本の当たりは $n+1,n+2,\dots ,102$ のいずれかにある。その選び方は $102-n$ 通りだから$$P(\text{最初の当たりが }n\text{ 番目})=\frac{102-n}{5151}(1\leqq n\leqq 101)$$である。$n=102$ では最初の当たりにはなれない。

(2)

最初の当たりの位置が $1,4,7,\dots$ なら $A$、$2,5,8,\dots$ なら $B$、$3,6,9,\dots$ なら $C$ が引く。(1)の結果を位置ごとに加えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_A}& {\displaystyle =\frac{1}{5151}\sum _{k=0}^{33}(101-3k)=\frac{34\cdot 101-3\cdot {\displaystyle \frac{33\cdot 34}{2}}}{5151}=\frac{103}{303},}\\ {\displaystyle P_B}& {\displaystyle =\frac{1}{5151}\sum _{k=0}^{33}(100-3k)=\frac{34\cdot 100-3\cdot {\displaystyle \frac{33\cdot 34}{2}}}{5151}=\frac{1}{3},}\\ {\displaystyle P_C}& {\displaystyle =\frac{1}{5151}\sum _{k=0}^{32}(99-3k)=\frac{33\cdot 99-3\cdot {\displaystyle \frac{32\cdot 33}{2}}}{5151}=\frac{33}{101}\mathrm{.}}\end{array}$$実際、$$\frac{103}{303}+\frac{1}{3}+\frac{33}{101}=1$$となり、3人の確率の和は1である。