北大 2011年度理系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

方針

光源Pと点Xを結ぶ直線を $P + λ (X - P)$ とおき、 $z = 0$ となる $λ$ を求めて影を出す。(1)(2) は各点についてこの計算を行う。(3) は4点の影の凸包が三角形になる条件を平面上で判定する。固定された $B^{'}, C^{'}, D^{'}$ の三角形に動点 $A^{'} = (- 2, 3 a)$ が入る場合と、 $A^{'}$ が上に出た後に $D^{'}$ が三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の内部または辺上に入る場合を分ける。 $a < 5$ も最後に合わせる。

解答

空間内の点 $X (x, y, z)$ の影は、光源 $P (1, 0, 6)$ とXを結ぶ直線が $x y$ 平面、すなわち $z = 0$ と交わる点である。直線上の点を $P + λ (X - P)$ と表すと、 $z$ 座標は $6 + λ (z - 6)$ である。これを0にして影を求める。

(1)
$A (0, a, 4)$ については $6 + λ (4 - 6) = 0$ より $λ = 3$ である。したがって影 $A^{'}$ は $(1, 0) + 3 {(0, a) - (1, 0)} = (- 2, 3 a)$ である。

$a$ が実数全体を動くとき、 $A^{'}$ の $x$ 座標は常に $- 2$ で、 $y = 3 a$ はすべての実数を動く。よって影がつくる直線は $x = - 2$ である。

(2)
$B (- 2, 0, 3)$ については $6 + λ (3 - 6) = 0$ より $λ = 2$ である。したがって $B^{'} = (1, 0) + 2 {(- 2, 0) - (1, 0)} = (- 5, 0)$ である。

$C (1, 0, 2)$ については $6 + λ (2 - 6) = 0$ より $λ = 3 / 2$ である。したがって $C^{'} = (1, 0) + \frac{3}{2} {(1, 0) - (1, 0)} = (1, 0)$ である。

$D (0, 2, 3)$ については $λ = 2$ であり、 $D^{'} = (1, 0) + 2 {(0, 2) - (1, 0)} = (- 1, 4)$ である。

よって三角形BCDの影の頂点は $B^{'} (- 5, 0), C^{'} (1, 0), D^{'} (- 1, 4)$ である。

(3)
(1)(2)より $A^{'} = (- 2, 3 a), B^{'} = (- 5, 0), C^{'} = (1, 0), D^{'} = (- 1, 4)$ である。四面体の影は、これら4点のつくる凸包である。これが三角形になるのは、4点のうち1点が他の3点でできる三角形の内部または辺上にあるときである。

まず、 $A^{'}$ が三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ の内部または辺上にある条件を求める。三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ の辺は $B^{'} C^{'} : y = 0, C^{'} D^{'} : y = - 2 x + 2, D^{'} B^{'} : y = x + 5$ である。 $A^{'}$ は直線 $x = - 2$ 上にある。この直線上で、三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ の内部または辺上にある点の $y$ 座標は $0 ≦ y ≦ 3$ である。したがって $0 ≦ 3 a ≦ 3$ すなわち $0 ≦ a ≦ 1$ のとき、影は三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ になる。

次に $a > 1$ の場合を考える。このとき $A^{'}$ は三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ の上側に出る。影が三角形になるには、固定点のうち $D^{'}$ が三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の内部または辺上に入ればよい。三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ で、 $x = - 1$ における上側の境界は辺 $A^{'} C^{'}$ である。A'とC'を結ぶ直線上で $x = - 1$ の点を求めると、その $y$ 座標は $2 a$ である。したがって $D^{'} (- 1, 4)$ が三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の内部または辺上に入る条件は $4 ≦ 2 a$ すなわち $a ≧ 2$ である。

一方、 $a < 0$ の場合は、 $A^{'}$ は底辺 $B^{'} C^{'}$ の下側にあり、 $B^{'}$ は最も左、 $C^{'}$ は最も右、 $D^{'}$ は上側の点であるため、4点はいずれも他の3点の三角形に入らず、影は四角形になる。

問題の条件 $a < 5$ と合わせると、求める範囲は $0 ≦ a ≦ 1, 2 ≦ a < 5$ である。

別解

解法2（射影公式と重心係数）

方針

光源 $P$ と空間点 $X$ の直線を一般式で処理し、影の座標を一括して求める。(3) は動点 $A^{'}$ が固定三角形に入る範囲を切断線で求め、上側へ出た後は $D^{'}$ を三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の重心係数で表す。係数がすべて非負となる条件から、凸包が三角形になる第2の範囲を決める。

解答

(1)
点 $X = (x, y, z)$ と光源 $P = (1, 0, 6)$ を結ぶ直線は $P + λ (X - P)$ である。 $z \neq 6$ のとき、その $z$ 座標が0となる係数は $λ = \frac{6}{6 - z}$ だから、影は $X^{'} = (1, 0) + \frac{6}{6 - z} ((x, y) - (1, 0))$ で与えられる。これを $A = (0, a, 4)$ に適用すると $A^{'} = (- 2, 3 a)$ となる。したがって $a$ が実数全体を動くときの軌跡は直線
$x = - 2$ である。

(2)
同じ射影公式を $B, C, D$ に適用すると、三角形 $B C D$ の影の頂点は $B^{'} = (- 5, 0), C^{'} = (1, 0), D^{'} = (- 1, 4)$ である。

(3)
四面体の影は4点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ の凸包である。
固定三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ を直線 $x = - 2$ で切ると $0 ≦ y ≦ 3$ である。よって $A^{'} = (- 2, 3 a)$ がこの三角形の内部または辺上にある
条件は $0 ≦ a ≦ 1$ である。

次に $a > 1$ とする。 $D^{'}$ を $D^{'} = α A^{'} + β B^{'} + γ C^{'}, α + β + γ = 1$ と表す。 $y$ 座標と $x$ 座標を比較すると $α = \frac{4}{3 a}, β = \frac{a - 2}{3 a}, γ = \frac{2 (a - 1)}{3 a} .$ $a > 1$ では $α, γ > 0$ であり、3係数がすべて非負となる
ための残りの条件は $β ≧ 0$ 、すなわち $a ≧ 2$ である。
このとき $D^{'}$ は三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の内部または辺上に入り、凸包は
三角形になる。

$a < 0$ では $A^{'}$ が底辺 $B^{'} C^{'}$ の下側にあり、4点はいずれも
他の3点の凸包に入らないので影は四角形である。問題の条件 $a < 5$
と合わせて $0 ≦ a ≦ 1 または 2 ≦ a < 5$ を得る。

総評

空間図形を光源から平面へ射影し、その後は平面上の凸包を調べる問題である。目安時間は25分。(1)(2) は直線 $P + λ (X - P)$ と $z = 0$ の交点計算を機械的に行えばよい。(3) は、動点 $A^{'}$ が固定三角形に入る場合だけでなく、 $A^{'}$ が外へ出た後に $D^{'}$ が新しい三角形の内部へ入る場合もある。ここを見落とすと $2 ≦ a < 5$ の範囲が抜ける。固定三角形の切断と重心係数の双方で、 $0 ≦ a ≦ 1$ と $2 ≦ a < 5$ を再現できる。

出典: 北海道大学 2011年度後期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

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