北海道大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\mathrm{△}ABC$ は $BC$ を斜辺とする直角三角形であるから、その外接円の中心 $O$ は斜辺 $BC$ の中点である。したがって $$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$$ である。

点 $D$ は $BC$ を $(p+1):p$ に外分する。外分公式より$$\overrightarrow{OD}=\frac{(p+1)\overrightarrow{OC}-p\overrightarrow{OB}}{(p+1)-p}$$である。分母は1であり、$$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OD}}& {\displaystyle =(p+1)\overrightarrow{OC}-p(-\overrightarrow{OC})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2p+1)\overrightarrow{OC}}\end{array}$$となる。よって である。

(2) $$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$$ とおく。$\mathrm{△}ABC$ は直角二等辺三角形で、$O$ は斜辺の中点であるから $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid },\vec{a}\cdot \vec{c}=0$$ である。

(1) より $D$ の位置ベクトルは $(2p+1)\vec{c}$ である。直線 $AD$ 上の点は、実数 $\lambda$ を用いて $$\overrightarrow{OY}=(1-\lambda )\vec{a}+\lambda (2p+1)\vec{c}$$ と表せる。$\lambda =0$ のとき $Y=A$、$\lambda =1$ のとき $Y=D$ である。

点 $Y$ が外接円上にある条件は $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OY}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。$\vec{a}\perp \vec{c}$、$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }$ を用いると $$\{(1-\lambda {)}^2+{\lambda }^2(2p+1{)}^2\}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。半径は0でないので $$(1-\lambda {)}^2+{\lambda }^2(2p+1{)}^2=1$$ を得る。展開して $$1-2\lambda +{\lambda }^2\{1+(2p+1{)}^2\}=1$$ より $$\lambda [-2+\lambda \{1+(2p+1{)}^2\}]=0$$ である。 $\lambda =0$ は点 $A$ に対応する。求める点 $X$ は $A$ と異なる交点なので $$\lambda =\frac{2}{1+(2p+1{)}^2}=\frac{1}{2p^2+2p+1}$$ である。したがって$$1-\lambda =1-\frac{1}{2p^2+2p+1}=\frac{2p^2+2p}{2p^2+2p+1}=\frac{2p(p+1)}{2p^2+2p+1}$$であり、また $$\lambda (2p+1)=\frac{2p+1}{2p^2+2p+1}$$ である。

以上よりである。