北海道大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
$0<x\leqq 2$ では $x>0$ である。したがって $f(x)=g(x)$ は $x{e}^{-x}=kx$ であり、両辺を $x$ で割って $e^{-x}=k$ と同値である。

関数 $e^{-x}$ は $0<x\leqq 2$ で単調に減少し、値は $1>e^{-x}\geqq e^{-2}$ の範囲を動く。したがって、解がただ1つ存在するための $k$ の範囲は $e^{-2}\leqq k<1$ である。

(2)
(1)で定まる解を $a$ とする。このとき $$e^{-a}=k,a=-\log k$$ である。

部分積分により$$\int x{e}^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}$$である。よって$${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}x{e}^{-x}dx={[-(x+1)e^{-x}]}_0^a$$であり、$${\int }_0^{a}f(x)dx=1-(a+1)e^{-a}$$となる。$e^{-a}=k$、$a=-\log k$ を代入すると $$1-(a+1)e^{-a}=1-k(1-\log k)=1-k+k\log k$$ である。

(3)
$0\leqq x\leqq a$ では $e^{-x}\geqq e^{-a}=k$ なので $f(x)\geqq g(x)$ である。一方、$a\leqq x\leqq 2$ では $f(x)\leqq g(x)$ である。したがって$$I={\int }_0^2\mathrm{\mid }f(x)-g(x)\mathrm{\mid }dx$$とおくと$$I={\int }_0^{a}x(e^{-x}-k)dx+{\int }_a^{2}x(k-e^{-x})dx$$である。

これは$$I=2{\int }_0^{a}x(e^{-x}-k)dx-{\int }_0^{2}x(e^{-x}-k)dx$$と書ける。まず$${\int }_0^{a}x{e}^{-x}dx=1-(a+1)e^{-a},{\int }_0^{a}kxdx=\frac{1}{2}k{a}^2$$である。$k=e^{-a}$ より$${\int }_0^{a}x(e^{-x}-k)dx=1-e^{-a}(a+1+\frac{a^2}{2})$$である。

また$${\int }_0^{2}x{e}^{-x}dx=1-3e^{-2},{\int }_0^{2}kxdx=2k=2e^{-a}$$だから$${\int }_0^{2}x(e^{-x}-k)dx=1-3e^{-2}-2e^{-a}$$である。

したがって $$I=1+3e^{-2}-e^{-a}(a^2+2a)$$ である。ここで $e^{-2}\leqq k<1$ は $0<a\leqq 2$ に対応する。よって $I$ を最小にするには $$H(a)=e^{-a}(a^2+2a)(0<a\leqq 2)$$ を最大にすればよい。

微分すると $$H^{\mathrm{\prime }}(a)=e^{-a}(2a+2)-e^{-a}(a^2+2a)=e^{-a}(2-a^2)$$ である。したがって $H(a)$ は $0<a<\sqrt{2}$ で増加し、$\sqrt{2}<a\leqq 2$ で減少する。最大は $a=\sqrt{2}$ のときである。

よって求める $k$ は $k=e^{-a}=e^{-\sqrt{2}}$ である。