北海道大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $${\displaystyle u=\frac{\theta }{2}}$$ とおく。すると $Q=(\cos u,\sin u)$ である。行列で写すと$$f(Q)=(\cos \theta \cos u+\sin \theta \sin u,\sin \theta \cos u-\cos \theta \sin u)$$である。

加法定理より $$\cos \theta \cos u+\sin \theta \sin u=\cos (\theta -u)=\cos u$$ であり、$$\sin \theta \cos u-\cos \theta \sin u=\sin (\theta -u)=\sin u$$ である。したがって $f(Q)=(\cos u,\sin u)=Q$ である。

(2)
同じく $u=\theta \mathrm{/}2$ とおくと $R=(\sin u,-\cos u)$ である。よって$$f(R)=(\cos \theta \sin u-\sin \theta \cos u,\sin \theta \sin u+\cos \theta \cos u)$$である。

第1成分は $$\cos \theta \sin u-\sin \theta \cos u=-\sin (\theta -u)=-\sin u$$ であり、第2成分は $$\sin \theta \sin u+\cos \theta \cos u=\cos (\theta -u)=\cos u$$ である。したがって $$f(R)=(-\sin u,\cos u)=-R$$ である。

(3)
点Qは $${\displaystyle Q=(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2})}$$ であるから、原点を通る直線 $${\displaystyle y=(\tan \frac{\theta }{2})x}$$ の方向を表している。また点Rは $${\displaystyle R=(\sin \frac{\theta }{2},-\cos \frac{\theta }{2})}$$ であり、$$Q\cdot R=\cos u\sin u+\sin u(-\cos u)=0$$ だから、Q方向に垂直な方向を表している。

(1) より $f$ はQ方向の点を動かさず、(2)よりR方向の点を反対向きに移す。任意の点は、Q方向成分とR方向成分の和として一意に表せるので、$f$ は直線 $${\displaystyle y=(\tan \frac{\theta }{2})x}$$ に平行な成分を保ち、それに垂直な成分だけ符号を変える。

したがって $f$ は直線 $${\displaystyle y=(\tan \frac{\theta }{2})x}$$ に関する対称移動である。

(1) (2) は半角 $u=\theta \mathrm{/}2$ を用いて行列を直接作用させる。(3) は $k=\tan u$ とおき、任意の点 $X$ と像 $f(X)$ を結ぶ線分が直線 $y=kx$ に垂直で、その中点がこの直線上にあることを示す。固定方向と垂直方向の基底分解を使わず、対称移動の幾何的な必要十分条件から確認する。

(1)
$u=\theta \mathrm{/}2$ とおく。加法定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(Q)}& {\displaystyle =(\cos \theta \cos u+\sin \theta \sin u,\sin \theta \cos u-\cos \theta \sin u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\cos (\theta -u),\sin (\theta -u))=(\cos u,\sin u)=Q}\end{array}$$である。

(2)
同様に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(R)}& {\displaystyle =(\cos \theta \sin u-\sin \theta \cos u,\sin \theta \sin u+\cos \theta \cos u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-\sin (\theta -u),\cos (\theta -u))=(-\sin u,\cos u)=-R}\end{array}$$である。

(3)
$k=\tan u$ とおく。半角公式より$$\cos \theta =\frac{1-k^2}{1+k^2},\sin \theta =\frac{2k}{1+k^2}\mathrm{.}$$任意の点 $X=(x,y)$ の像 $X^{\mathrm{\prime }}=f(X)$ は$$X^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{1+k^2}((1-k^2)x+2ky,2kx-(1-k^2)y)$$である。したがって$$\overrightarrow{X{X}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{2(kx-y)}{1+k^2}(-k,1)\mathrm{.}$$直線 $L:y=kx$ の方向ベクトルは $(1,k)$ であり、
$(-k,1)\cdot (1,k)=0$ だから、線分 $X{X}^{\mathrm{\prime }}$ は $L$ に垂直である。

また、線分 $X{X}^{\mathrm{\prime }}$ の中点を $M$ とすると$$M=\frac{x+ky}{1+k^2}(1,k)$$であり、$M$ は $L$ 上にある。よって、任意の $X$ について
$L$ は線分 $Xf(X)$ の垂直二等分線である。したがって $f$ は$$y=(\tan \frac{\theta }{2})x$$に関する対称移動である。