北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $P$ は辺 $OA$ を $m:n$ に内分するので $$\overrightarrow{OP}=\frac{m}{m+n}\vec{a}$$ である。また $Q$ は辺 $OB$ を $n:m$ に内分するので $$\overrightarrow{OQ}=\frac{n}{m+n}\vec{b}$$ である。

点 $S$ は線分 $AQ$ を $1:x$ に外分する。すなわち $AS:SQ=1:x$ であり、$0<x<1$ だから外分点の公式より$$\overrightarrow{OS}=\frac{\overrightarrow{OQ}-x\overrightarrow{OA}}{1-x}$$となる。したがって$$\overrightarrow{OS}=-\frac{x}{1-x}\vec{a}+\frac{n}{(m+n)(1-x)}\vec{b}$$である。

(2)
同様に、点 $T$ は線分 $BP$ を $1:x$ に外分するので$$\overrightarrow{OT}=\frac{\overrightarrow{OP}-x\overrightarrow{OB}}{1-x}=\frac{m}{(m+n)(1-x)}\vec{a}-\frac{x}{1-x}\vec{b}$$である。

3点 $O,S,T$ が一直線上にあることは、$\overrightarrow{OS}$ と $\overrightarrow{OT}$ が平行であることと同値である。$\vec{a},\vec{b}$ は三角形 $OAB$ の2辺方向なので一次独立であり、係数の行列式が0になればよい。よって$$(-\frac{x}{1-x})(-\frac{x}{1-x})-\frac{n}{(m+n)(1-x)}\frac{m}{(m+n)(1-x)}=0$$である。分母は正なので $$x^2-\frac{mn}{(m+n{)}^2}=0$$ を得る。$x>0$ だから $$x=\frac{\sqrt{mn}}{m+n}$$ である。なお $$(m+n{)}^2-mn=m^2+mn+n^2>0$$ より、この値は確かに $0<x<1$ を満たす。

$\vec{a},\vec{b}$ は一次独立なので、これらを座標軸とする斜交座標を使う。$O=(0,0),A=(1,0),B=(0,1)$ と置けば、内分点と外分点の座標が直接求まり、$O,S,T$ の共線条件は2行2列の行列式が0という一つの式になる。

(1)
$\vec{a},\vec{b}$ を基底とする座標を用い、$$O=(0,0),A=(1,0),B=(0,1)$$と置く。内分公式から $P,Q$ は$$P=(\frac{m}{m+n},0),Q=(0,\frac{n}{m+n})\mathrm{.}$$$S$ は $AQ$ を $1:x$ に外分するから$$S=\frac{Q-xA}{1-x}=(-\frac{x}{1-x},\frac{n}{(m+n)(1-x)})\mathrm{.}$$したがって、通常の位置ベクトルへ戻すと$$\overrightarrow{OS}=-\frac{x}{1-x}\vec{a}+\frac{n}{(m+n)(1-x)}\vec{b}$$である。

(2)
同様に$$T=\frac{P-xB}{1-x}=(\frac{m}{(m+n)(1-x)},-\frac{x}{1-x})\mathrm{.}$$$O,S,T$ が一直線上にあるための必要十分条件は$$\mid \begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{x}{1-x}}& {\displaystyle \frac{n}{(m+n)(1-x)}}\\ {\displaystyle \frac{m}{(m+n)(1-x)}}& -{\displaystyle \frac{x}{1-x}}\end{array}\mid =0$$である。分母を払うと$$x^2=\frac{mn}{(m+n{)}^2}\mathrm{.}$$$0<x<1$ なので正の平方根を取り、$$x=\frac{\sqrt{mn}}{m+n}$$を得る。また $(m+n{)}^2>mn$ より、この値は確かに $0<x<1$ を満たす。