北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\vec{b}=(u,v,0)$ とおく。$\vec{a}=(1,0,0)$ であるから、$\vec{a}\cdot \vec{b}=u=p$ である。また $\vec{b}$ は単位ベクトルなので $u^2+v^2=1$ である。$\vec{b}$ の $y$ 成分は正だから $$v=\sqrt{1-p^2}$$ でなければならない。したがって $$\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }<1,\vec{b}=(p,\sqrt{1-p^2},0)$$ である。

(2) $$q=\sqrt{1-p^2}$$ とおき、$\vec{c}=(x,y,z)$ とする。条件 $\vec{a}\cdot \vec{c}=p$ より $x=p$ である。また $\vec{b}\cdot \vec{c}=p$ より $p^2+qy=p$ だから $$y=\frac{p-p^2}{q}=\frac{p(1-p)}{\sqrt{1-p^2}}$$ である。

さらに $\vec{c}$ は単位ベクトルであるから $$p^2+\frac{p^2(1-p{)}^2}{1-p^2}+z^2=1$$ となる。ここで $$z^2=1-p^2-\frac{p^2(1-p{)}^2}{1-p^2}=\frac{(1-p)(2p+1)}{p+1}$$ である。$\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }<1$ のもとで $p+1>0$、$1-p>0$ だから、実数の $z$ が存在するための条件は $2p+1>0$ すなわち $-\frac{1}{2}<p<1$ である。 $z$ 成分が正である方を $\vec{c}$、負である方を $\vec{d}$ とすれば、$$\vec{c}=(p,\frac{p(1-p)}{\sqrt{1-p^2}},\sqrt{\frac{(1-p)(2p+1)}{p+1}}),$$$$\vec{d}=(p,\frac{p(1-p)}{\sqrt{1-p^2}},-\sqrt{\frac{(1-p)(2p+1)}{p+1}})$$である。

(3) 上の表示から$$\vec{c}\cdot \vec{d}=p^2+\frac{p^2(1-p{)}^2}{1-p^2}-\frac{(1-p)(2p+1)}{p+1}$$である。整理すると $$\vec{c}\cdot \vec{d}=\frac{4p^2-p-1}{p+1}$$ となる。これが $p$ に等しいので、$$\frac{4p^2-p-1}{p+1}=p$$ である。$p+1\mathrm{\ne }0$ だから $4p^2-p-1=p^2+p$ すなわち $3p^2-2p-1=0$ を得る。よって $(3p+1)(p-1)=0$ である。$p=1$ は $p<1$ に反するので、求める値は $p=-\frac{1}{3}$ である。