北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
AがBより先に2勝して終了するには、最後の試合はAが勝つ。最後の直前までにAは1勝しており、Bの勝ち数は0勝または1勝である。

Bが0勝の場合は勝敗列が $AA$ だけなので確率は $p^2$ である。Bが1勝の場合は、最後のAの前に $A,B$ が1回ずつ並ぶので ${}_2{\mathrm{C}}_1=2$ 通りあり、確率の合計は $2p^{2}q$ である。したがって $P_2=p^2+2p^{2}q=p^2(1+2q)$ である。

(2)
Aが先に3勝して終了するには、最後の試合はAが勝ち、その直前までにAは2勝している。直前までのBの勝ち数を $j$ とすると、$j=0,1,2$ である。

Bが $j$ 勝しているとき、最後の前には合計 $2+j$ 試合があり、その中にAの勝ちが2回、Bの勝ちが $j$ 回ある。並べ方は ${}_{2+j}{\mathrm{C}}_j$ 通りである。よって $$P_3=p^3\sum _{j=0}^2{}_{2+j}{\mathrm{C}}_j{q}^j=p^3(1+3q+6q^2)$$ である。したがって $P_3=p^3(1+3q+6q^2)$ である。

(3) $p+q=1$ より $p=1-q$ である。(1),(2)から $$P_2-P_3=p^2(1+2q)-p^3(1+3q+6q^2)$$ である。ここで $p=1-q$ を代入して整理すると $$P_2-P_3=p^2\{(1+2q)-(1-q)(1+3q+6q^2)\}$$ $$=p^2\{1+2q-(1+2q+3q^2-6q^3)\}=3p^2{q}^2(2q-1)$$ である。

条件 $1\mathrm{/}2<q<1$ のもとでは $p=1-q>0$、$q>0$、$2q-1>0$ であるから $P_2-P_3>0$ である。したがって $P_3<P_2$ が示された。