Evolton
方針
3点が放物線 の上側・下側にある条件を、点 の不等式へ直す。下端は 、上端は と の小さい方であり、両者の大小は で切り替わる。領域が空でない範囲 を押さえてから、2つの積分に分けて面積を求める。
解答
(1)
点 が領域 に含まれる条件は である。整理すると である。
点 と点 が領域 に含まれる条件はそれぞれ である。したがって求める連立不等式は である。
(2)
上端は と の小さい方である。両者を比較すると は すなわち と同値である。
また領域が空でないためには、下端 が上端以下でなければならない。まず より であり、さらに より である。
よって領域 は、 平面において の部分と、 の部分を合わせたものである。図示すると、下側の放物線 と、上側の放物線 、 で囲まれる領域であり、上側の境界は で切り替わる。端点はである。
(3)
面積は、上端が切り替わる で分けて計算する。 では上端が なので、高さは である。したがってこの部分の面積はである。 では上端が なので、高さは である。したがってこの部分の面積はである。
よって領域 の面積は である。
青色部分が領域 である。上側の境界は
を境に から へ切り替わる。
総評
難度5、目安時間22分。点の条件をそのまま の領域に移す問題で、上端が と のどちらになるかを切り替えて考えるのが核心である。図示では境界の交点と切り替わり を明記すると、面積計算の分割も自然に決まる。積分では高さを「上端－下端」として書き、負の高さを積分しないように注意したい。 原典の領域図も復元し、3本の放物線、端点、上端の切替位置を積分区間と一対一に対応させている。