北海道大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{PA}=(1-x,-y),\overrightarrow{PB}=(-1-x,-y)$$ である。内積は $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(1-x)(-1-x)+y^2=x^2+y^2-1$$ である。また、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積成分の絶対値は $$\mathrm{\mid }(1-x)(-y)-(-y)(-1-x)\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$$ である。

角が ${45}^{\circ }$ または ${135}^{\circ }$ であることは、$$\mathrm{\mid }\cos \mathrm{\angle }APB\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin \mathrm{\angle }APB\mathrm{\mid }$$ と同値である。したがって $\mathrm{\mid }{x}^2+y^2-1\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ である。$t=x^2-1$ とおくと $$t+y^2=2y\text{または}t+y^2=-2y$$ である。

(2)
(1)の2式をそれぞれ整理すると $x^2-1+y^2=2y$ または $x^2-1+y^2=-2y$ である。すなわち $x^2+(y-1{)}^2=2$ または $x^2+(y+1{)}^2=2$ である。

したがって点 $P$ の軌跡は、中心 $(0,1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円と、中心 $(0,-1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円を合わせたものである。ただし問題文で $P$ は $A,B$ と異なるとされているので、点 $A(1,0),B(-1,0)$ は除く。図示では、この2つの円を描き、交点 $(1,0),(-1,0)$ を白丸で除けばよい。

(3)
点 $Q(4,4)$ から中心 $(0,1)$ までの距離は $$\sqrt{4^2+3^2}=5$$ である。したがって円 $x^2+(y-1{)}^2=2$ までの最短距離は $5-\sqrt{2}$ である。

一方、点 $Q(4,4)$ から中心 $(0,-1)$ までの距離は $$\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$$ である。したがってもう一方の円までの最短距離は $\sqrt{41}-\sqrt{2}$ であり、これは $5-\sqrt{2}$ より大きい。

また、上側の円で $Q$ に最も近い点は中心 $(0,1)$ と $Q$ を結ぶ直線上にあり、除外された $A,B$ ではない。よって求める最小値は $5-\sqrt{2}$ である。

軌跡は2円の和集合から、白丸で示した $A,B$ を除いたものである。
$Q$ に近いのは中心 $C_1=(0,1)$ の円で、最短距離は
$Q{C}_1-\sqrt{2}=5-\sqrt{2}$ となる。

弦 $AB$ を ${45}^{\circ }$ または ${135}^{\circ }$ に見る点は、円周角の定理から2つの円周上にある。弦長 $AB=2$ と$2R\sin {45}^{\circ }=2$ から半径を決め、中心を垂直二等分線上で求める。得た円の方程式を $t=x^2-1$ へ直し、最後は点と円の距離を比較する。

(1)
$AB=2$ である。弦 $AB$ を円周角 ${45}^{\circ }$ で見る円の半径を
$R$ とすると$$2=2R\sin {45}^{\circ }$$より $R=\sqrt{2}$ である。円の中心は $AB$ の垂直二等分線である
$y$ 軸上にあり、$A(1,0)$ からの距離が $\sqrt{2}$ なので$$C_1=(0,1),C_2=(0,-1)$$の2点である。${135}^{\circ }$ は ${180}^{\circ }-{45}^{\circ }$ であるから、
同じ2円の反対側の弧が対応する。

したがって点 $P$ は$$x^2+(y-1{)}^2=2\text{または}{x}^2+(y+1{)}^2=2$$を満たす。$t=x^2-1$ とおけば$$t+y^2=2y\text{または}t+y^2=-2y$$である。

(2)
軌跡は、中心 $(0,1)$、$(0,-1)$、半径 $\sqrt{2}$ の2円である。
ただし $P\mathrm{\ne }A,B$ という条件があるので、両円の交点$$A=(1,0),B=(-1,0)$$は除く。

(3) $$Q{C}_1=\sqrt{4^2+3^2}=5,Q{C}_2=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\mathrm{.}$$よって2円までの最短距離はそれぞれ$$5-\sqrt{2},\sqrt{41}-\sqrt{2}$$である。前者の方が小さく、その最短点は除外点 $A,B$ ではない。
したがって求める最小値は$$5-\sqrt{2}$$である。