北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

4枚の7を1つのかたまりと見る。このかたまりと残り48枚のカードを合わせて49個のものを並べるので、並べ方は $49!\cdot 4!$ 通りである。全体の並べ方は $52!$ 通りであるから、求める確率は $$\frac{49!4!}{52!}=\frac{1}{5525}$$ である。

(2)

7の4枚が置かれる位置だけに注目する。4つの位置の選び方は全部で ${}_{52}{\mathrm{C}}_4$ 通りであり、どの位置集合も同じ確率で起こる。

7が2枚ずつ隣り合い、4枚連続ではないということは、7の位置が $\{i,i+1\},\{j,j+1\}$ の2つのペアに分かれ、かつ2つのペアが重ならず、さらに4連続にならないことである。$i<j$ とすると、この条件は $j\geqq i+3$ である。$j+1\leqq 52$ より $j\leqq 51$ なので、$i=1,2,\dots ,48$ に対して $j=i+3,i+4,\dots ,51$ を数えればよい。したがって位置集合の数は $$\sum _{i=1}^{48}(51-(i+3)+1)=\sum _{i=1}^{48}(49-i)=48+47+\cdots +1=1176$$ である。よって求める確率は $$\frac{1176}{{}_{52}{\mathrm{C}}_4}=\frac{24}{5525}$$ である。

48枚の7でないカードを先に並べると、その前後を含めて49個のすき間ができる。4枚の7の位置集合は、4個をこの49個のすき間へ分配する方法と一対一に対応する。(1) は1つのすき間に4個、(2) は異なる2つのすき間に2個ずつ入る場合を数える。

7の4枚が占める位置集合は全部で ${}_{52}{\mathrm{C}}_4$ 通りあり、どれも同じ確率で起こる。

(1) 48枚の7でないカードを並べると、その前、カード間、最後の計49個のすき間ができる。4枚の7が連続するには、49個のすき間のうち1つを選び、そこへ4枚すべてを入れればよい。したがって有利な位置集合は49通りであり、$$\frac{49}{{}_{52}{\mathrm{C}}_4}=\frac{1}{5525}\mathrm{.}$$(2) 7が2枚ずつ隣り合い、4枚連続しないためには、異なる2つのすき間を選び、それぞれへ7を2枚ずつ入れればよい。異なるすき間の間には必ず7でないカードがあるので、4枚連続にはならない。したがって有利な位置集合は$${}_{49}{\mathrm{C}}_2=1176$$通りである。よって求める確率は$$\frac{{}_{49}{\mathrm{C}}_2}{{}_{52}{\mathrm{C}}_4}=\frac{24}{5525}\mathrm{.}$$